2018版高中数学北师大版必修二学案第一章 7.3　球的表面积和体积

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1、2017-2018学年高中数学北师大版必修2学案7.3　球的表面积和体积学习目标　1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.2.会求解组合体的体积与表面积．知识点一　球的截面思考　什么叫作球的大圆与小圆？　　梳理　用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是________，有以下性质：(1)若平面α过球心O，则截线是以________为圆心的球的大圆．(2)若平面α不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′，记OO′＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，则有O′P＝，即此时截线是以____为圆心，以r＝为半径的球的小圆．知识点二　球的切线(1)定

2、义：与球只有________公共点的直线叫作球的切线．如图，l为球O的切线，M为切点．(2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径；②过球外一点的所有切线的长度都________．知识点三　球的表面积与体积公式前提条件球的半径为R表面积公式S＝________体积公式V＝________72017-2018学年高中数学北师大版必修2学案类型一　球的表面积与体积例1　(1)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为______．(2)已知球的表面积为64π，求它的体积．　　　　　　　　　反思与感悟　(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半

3、径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三视图都是直径相同的圆．跟踪训练1　(1)已知球的体积为π，则其表面积为________．(2)某器物的三视图如图，根据图中数据可知该器物的体积是(　　)72017-2018学年高中数学北师大版必修2学案A.B.C.－D.＋类型二　球的截面例2　在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△

4、ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．　　　　　　　反思与感悟　(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.跟踪训练2　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3类型三　与球有关的组合体72017-2018学年高中数学北师大版必修2学案例3　(1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上

5、，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________．反思与感悟　(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r1＝.(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝.跟踪训练3　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．πa2B.πa

6、2C.πa2D．5πa2例4　若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．　　　　　反思与感悟　将正四面体可以补成正方体．由此可得正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.跟踪训练4　球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．1．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　)A．RB．2RC．3RD．4R2．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)A.πB．4πC．4πD．6π72017-2018学年高中数学北师大版必修2学案3．如图是

7、一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(　　)A．9πB．10πC．11πD．12π4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．5．若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进