高中数学 第一章7.3 球的表面积和体积目标导学 北师大版必修2

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1、7.3　球的表面积和体积问题导学1．柱体的体积活动与探究1如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②.求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．迁移与应用1．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形，则这个圆柱的体积为__________．2．根据图中物体的三视图(单位：cm)，求此几何体体积．1．求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解．2．求组合体的体积应据其结构特征分析求解，如迁

2、移与应用题2中为长方体上放一圆柱，故几何体体积为两体积之和．2．锥体的体积活动与探究2如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．迁移与应用1．一个圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则其体积为__________．2．如图，ABCD－A1B1C1D1是棱长为6的正方体，点P，Q，R分别是棱AA1，AB，AD的中点，则三棱锥A－PQR的体积等于__________．(1)锥体的体积公式V＝Sh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱

3、锥．(2)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫做等积法．3．台体的体积活动与探究3正四棱台的侧棱长为3cm，两底面边长分别为1cm和5cm，求体积．迁移与应用四边形ABCD中，A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．1．求台体的体积的一般方法是求出台体的上、下底面的面积和高，然后套用公式V＝(S′＋＋S)h计算求解．2．由于台体可以看作是由一个平行于锥体底面的平面截去小锥体后剩余的部分，因此台体

4、的体积也可以由大锥体的体积减去小锥体的体积来计算得到．4．球的表面积和体积活动与探究4(1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)．A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2(2)如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的(　　)．A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍迁移与应用1．若一个球的体积为4π，则它的表面积为________．2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)．A．π＋12B．π＋18C．9π＋42D．36π＋18计算球的表面

5、积和体积时要注意的问题：(1)关键是计算球的半径，而计算半径的关键是寻找球心的位置．因此，在解题过程中要特别关注题目中所揭示的球心位置，球面上的点等信息．(2)当球的半径增加为原来的2倍时，球的表面积增加为原来的4倍，球的体积增加为原来的8倍．(3)注意公式的“双向”应用，也就是说当知道球的表面积或体积时，也可以求出球的半径．当堂检测1．已知高为3的直三棱柱ABC－A′B′C′的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B′－ABC的体积为(　　)．A．B．C．D．2．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为(　　)．A．1∶2B．

6、1∶4C．1∶6D．1∶83．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　)．A．B．2πC．D．4．将两个棱长为10cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm的正四棱柱，则该四棱柱的高为(　　)．A．8cmB．80cmC．40cmD．cm5．如图，一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π≈3.14)提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案

7、：课前预习导学预习导引预习交流1　提示：台体的体积公式中，如果S上＝S下，就得到柱体的体积公式V柱体＝Sh；如果S上＝0，就得到锥体的体积公式V锥体＝Sh.因此，柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表示如下．由上图可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例．预习交流2　提示：体积相等，都等于Sh.预习交流3　提示：V圆柱＝πR2h，V圆锥＝πR2h.预习交流4　提示：表面积扩大为原来的4倍，体积扩大为原来的8倍．课堂合作探究问题导学活动与探究1　思路分析：由三视图可以得到正三棱柱的底面三角形的高和侧棱长，从而可求出正三棱柱的底面

8、边长与高，然后套用体积公式计算．解：由三视图可知：在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3，从而在底面即等边△ABC中，AB＝＝＝2，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝×BC×AD×AA1＝×2××3＝3.