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时间:2018-07-23
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1、利用均值不等式求最值的方法均值不等式当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑1.凑系数例1.当时,求的最大值。解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。当且仅当,即x=2时取等号。所以当x=2时,的最大值为8。评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利
2、用均值不等式求最大值。2.凑项例2.已知,求函数的最大值。解析:由题意知,首先要调整符号,又不是定值,故需对进行凑项才能得到定值。∵∴当且仅当,即时等号成立。评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。33.分离例3.求的值域。解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。当,即时(当且仅当x=1时取“=”号)。当,即时(当且仅当x=-3时取“=”号)。∴的值域为。评注:分式函数求最值,通常化成,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换例4.已知,求的最
3、小值。解法1:不妨将乘以1,而1用a+2b代换。当且仅当时取等号,由3即时,的最小值为。评注:本题巧妙运用“1”的代换,得到,而与的积为定值,即可用均值不等式求得的最小值。三、其他例5.求函数()的最大值.解析:当且仅当,即时取等号。评注:本题通过换元法使问题得到了简化,而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题,从而为构造积为定值创造有利条件。[练一练]1.若,求的最大值。2.求函数的最小值。3.求函数的最小值。4.已知,且,求的最小值。参考答案:1.2.53.84.3
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