数值分析非线性方程求解（五种方法）

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1、数值分析实验——分析牛顿法、割线法、对分法、Steffensen法、简易牛顿法解线性方程组的性质聂隐愚20103959摘要本报告介绍了牛顿法、割线法、对分法、Steffensen法、简易牛顿法五种算法原理及设计，检验了使用Matlab实现的对非齐次线性方程求根的程序，验证了五种算法的不同性能。本文在使用牛顿法求非齐次线性方程零点中，通过误差分析，得出其收敛是二次的，比对分法与割线法要快，这就保证在求零点时，需要更少的步数就能得出在精度范围内的结果，其收敛快（二次），稳定性好，且算法简单，但是值得指出的是牛顿法是一种局部收敛算法，且不能存在。对于割线法，同样通过误差分析得出，可知其收敛

2、是超线性的，但比牛顿法要慢，较对分法快；同时在割线法中本文指出，其每次迭代只需要一次函数赋值，而牛顿法需两次，而对于割线法中的两步，其收敛性要比牛顿二次收敛好的多，因此在函数赋值上割线法工作量较少，且避免求导，但是需要给出两个较好的初始值，且越小会导致失真。对于对分法，其收敛是一次的，且算法简单且只要存在根就总是收敛的，但是由于一次收敛所以收敛速度较前三种方法慢。对于steffensen法，当出现不能用，或者计算导数比求函数更加复杂时使用，且具有与牛顿法同样的二阶收敛速度。对于简易牛顿法，是对牛顿法的一种改造，以时间效率来换空间效率的方式减少了对各个函数点的导数计算，从一定程度上节省

3、了空间，但收敛阶数低于牛顿法，通常较牛顿法慢。一．牛顿法的性质1.1原理描述：设已知方程的近似根，则在附近可用一阶泰勒多项式近似代替。因此，方程可近似表示为。用满足方程的近似表示根差异不大。设，由于满足，解得重复这以过程，得到迭代格式。1.2算法描述迭代公式：，初值设为，最大迭代次数为n，迭代次数为i（i=0），最终结果设为c，要求精度为e；Step1.Step2.若，，重复第一个步骤若，break，则零点为二．割线法的性质2.1原理描述我们知道，牛顿迭代是由下式定义：，牛顿法的一个缺点是它需要求零点的函数导数，为了克服这一缺点，给出采用差商：代替牛顿迭代中的，得到割线法的迭代公式：

4、2.2算法描述初始值为x1,x0,精度为e，步骤记录为i（i=0）；Step1.Step2.若，，重复第一个步骤若，break，则零点为一．对分法的性质3.1算法描述设是区间[a,b]上的连续函数，且，则a和b之间有一个零点，当，计算，且检查是否，检查零点在[a,c]之间还是[c,b]之间，若在[a,c]之间则把c换成b在新的区间上重复上面的步骤，若在[c,b]则把c换成a继续上面步骤。i为迭代步骤（i=0），初始点为x(0),x(1)，精度要求为eStep1.x(i+2)=（x(i)+x(i+1)）/2，若abs(f(x(i+2)))

5、2.若f(i)f(i+2)<0，令x(i+2)=x(i+1)，否则令x(i+2)=x(i)；Step3.重复第一步与第二步直到达到精度。二．Steffensen法4.1原理描述Steffensen法的原理与割线法类似，为了克服牛顿法中求导这一缺点，使用g(x)代替，其中g(x)如下：；因此迭代函数为：4.2算法描述迭代步数为i（i=0），精度要求为eStep1.计算Step2.若norm(x(i+1)-x(i))e，i=i+1，重复上述步骤，直到达到精度。三．简易牛顿法5.1原理描述简易牛顿法，是在牛顿法

6、的基础上，对初始点只求一次导数，然后每次利用代替中的,这样处理后减少了牛顿的计算量,降低了空间上对各个迭代点导数的存储,但同样降低了运算速率.5.2算法描述初值设为x0，i为迭代步数，精度为eStep1.Step2.若,迭代结束，若，转至下一步Step3.，继续迭代前两步，直至达到精度。一．计算机配置1.处理器Inter(R)Core(TM)i3CPUM350@2.27GHz2.27GHz2.安装内存（RAM）：4.00GB（3.87GB可用）3.系统类型Windows764位操作系统4.Matlab版本Matlab7.12.0（R2011a）二．案例分析参数设置：精度：最大迭代次数

7、：30函数选取：，如下图：图7-1函数图形初值选取：五种方法的第一个初值点均选相同点，对于牛顿法，简易牛顿法，Steffensen法，只需要一个初值点。而对分法，割线法需要两初值点的情况下，我们根据函数图象可以设置一个合适的初值点，由于某些算法带有局部性，本文在此考虑比较各个算法在区间[2,3]上寻找零点的优越性。一．输出结果本文通过比较各个算法的迭代步数，迭代精度，运算时间，来评判各个算法的优越性，并描绘出计算方程过程中的几何图像。求区间[2,3]上零点