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《小波,泛函分析学习感悟,超详细》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、泛函分析知识总结与举例、应用学习感悟一、度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是维欧氏空间（有限维空间）的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0，d(x,y)=0（非负性）2°d(x,y)=d(y,x)（对称性）3°对z，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三点不等式）则称d(x,y)是x、y之间的度量或距
2、离（matric或distance），称为(X,d)度量空间或距离空间(metricspace)。（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴定义在X中任意两个元素x，y确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。⑵度量空间中由集合X和度量函数d所组成，在同一个集合X上若有两个不同的度量函数和，则我们认为(X,)和(X,)是两个不同的
3、度量空间。⑶集合X不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点”，例如若，则称为“X中的点”。⑷在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d，而称“度量空间X”。1.1举例1.11离散的度量空间：设X是任意的非空集合，对X中任意两点x,y∈X，令，则称（X，d）为离散度量空间。141.12序列空间S：S表示实数列（或复数列）的全体，d(x,y)＝；1.13有界函数空间B(A)：A是给定的集合，B(A)表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y，定
4、义d(x,y)＝1.14可测函数空间M(X)：M(X)为X上实值（或复值）的L可测函数全体。1.15C[a,b]空间（重要的度量空间）：C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对C[a,b]中任意两点x,y，定义d(x,y)＝1.16：无限维空间（重要的度量空间）★例1.15、1.16是考试中常考的度量空间。2．度量空间中的极限，稠密集，可分空间2.1的—领域：设（X，d）为度量空间，d是距离，定义为的以为半径的开球，亦称为的—领域。注：通过这个定义我们可以从点集这一章学到的知识来定
5、义距离空间中一个点集的内点，外点，边界点及聚点，导集，闭包，开集等概念。2.2度量空间的收敛点列：设(X，d)是一个度量空间，是（X，d）中点列,如果存在，收敛于，使，即，称点列是（X，d）中的收敛点列，x叫做点列的极限，且收敛点列的极限是唯一的。注：度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。2.3有界集：设M是度量空间（X，d）中的点集，定义为点集M的直径。若，则称M为（X，d）中的有界集。14（类似于，我们可以证明一个度量空间中收敛点列是有界点集）2.4闭集：A是闭集A中任意收敛点列的极限
6、都在A中，即若，n=1,2，.,则。（要会证明）2.5举例2.5.1n维欧氏空间中，点列依距离收敛依分量收敛。2.5.2C[a,b]空间中，点列依距离收敛依分量一致收敛。2.5.3序列空间S中，点列依坐标收敛。2.5.4可测函数空间M(X)：函数列依测度收敛于f，即。2.6稠密子集和可分度量空间有理数集在实数集中的稠密性，它属于实数集中，现把稠密性推广到一般的度量空间中。2.6.1定义：设X是度量空间，E和M是X的两个子集，令表示M的闭包，如果E⊂，则称集M在集E中稠密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集
7、，如果X有一个可数的稠密子集，则称X为可分空间。注：可分空间与稠密集的关系：由可分空间定义知，在可分空间X中一定有稠密的可数集。这时必有X中的有限个或可数个点在X中稠密。2.6.2举例①n维欧式空间是可分空间：坐标为有理数的全体是的可数稠密子集。②离散度量空间X可分X是可数集。（因为X中无稠密真子集，X中唯一的稠密只有X本身）③是不可分空间。数学知识间都有联系，现根据直线上函数连续性的定义，引进了度量空间中映射连续性的概念。3.连续映射3.1定义：设X=（X，d）Y=（Y，）是两个度量空间，T是X到Y中的
8、映射єX，如果对ε>0，δ>0，使对X中一切满足d（x，）<δ的x，有，则称T在连续。14（度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间时，映射就是度量空间上的函数。）注：对于连续可以用定义证明，也可以用邻域的方法证明。下面用邻域描述：对T的ε-邻域U，存在的某个δ—邻域V，使TVU，其中TV表示V在映射T作用下的像。3.2定理1：设T是度量空间（X，d）到度量空间（Y，）中映射，T在连续⇔当时
