《实变函数论》教学大纲

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1、实变函数论教学大纲(FunctionsofRealVariable)课程代码218.114.1编写时间课程名称实变函数论英文名称FunctionsofRealVariable学分数3周学时3+1任课教师*徐胜芝、黄昭波等开课院系**数学学院预修课程课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修。基本要求和教学目的：通过本课程的学习，学生应熟练掌握关于可测集、可测函数的概念和性质，深刻理解并掌握Lebesgue积分的理论，并在学习过程中形成抽象思维能力和逻辑推理能力的一个飞跃。课程基本内容简介：本课程主要是以n维Euclid空间及其上实值函数为背景，运用点集分析的方法建立测度与积分

2、的理论，具体内容包括：集合、映射，Rn中点集的拓朴，可测集和可测函数，积分理论，微分和不定积分。教学方式:课堂讲授+习题课训练教材和教学参考资料：作者教材名称出版社出版年月教材夏道行实变函数论与泛函分析（上册）高等教育出版社1984自编讲义实变函数与泛函分析参考资料那汤松实变函数论高等教育出版社1958HewittE.,StrombergK.RealandAbstractAnalysisSpringer-Verlag1975教学内容安排：第一章集合和Rn中的点集（10学时）§1集和集的运算（2学时）§2映射和势（4学时）§3Rn中的点集（4学时）本章教学要求熟练掌握集合的代数运算和极限运

3、算，能应用Bernstein定理确定一些集合的势，熟悉Rn的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。第二章测度（12学时）§1外测度与可测集（4学时）§2测度及其性质（4学时）§3可测集类（4学时）本章教学要求：掌握外测度的概念，正确理解Caratheudory条件，熟练掌握测度及其性质，熟悉一些重要的可测集类，理解不可测集的典型例子。第三章可测函数（10学时）§1可测函数及其基本性质（4学时）§2可测函数列的收敛（4学时）§3Lebesgue可测函数的结构（2学时）本章教学要求：熟练掌握可测函数的概念及其基本性质，正确理解并掌握可测函数列几种不同收敛的概念，通过对本章中几个基本

4、定理证明过程的分析，深刻领会实分析中的点集分析方法。第四章积分（14学时）§1积分的基本概念及性质（4学时）§2积分的极限定理（4学时）§3重积分和Fubini定理（4学时）§4一般集上的测度和积分简介（2学时）本章教学要求：正确掌握积分的定义及其基本性质，牢固掌握并能熟练应用积分的Levi定理，Fatou定理，Lebesgue控制收敛定理，掌握乘积测度和重积分的概念，熟练掌握Fubini定理，了解一般集上的测度和积分理论概要。第五章导数与不定积分（8学时）§1有界变差函数及其导数（4学时）§2不定积分与全连续函数（4学时）本章教学要求：掌握有界变差函数与全连续函数的概念，掌握有界变差函

5、数的可导性及其正规分解和Lebesgue分解，掌握Newton-Leibniz公式成立的充要条件。三、附注本课程可选择采用两种方案讲授，其一是直接建立一般的测度和积分理论，以Lebesgue测度与积分作为特例；其二是着重介绍Lebesgue测度和积分理论，而后简述一般测度论的结果，并引导有兴趣的学生自行深入讨论。作业和考核方式：闭卷笔试*如该门课为多位教师共同开设，请在教学内容安排中注明。**考虑到有时同一门课由不同院系的教师开设，请任课教师填写此栏。