海伦(horon)公式的摸索与拓展

海伦(horon)公式的摸索与拓展

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2、捶踞1海伦(Horon)公式的探究与拓展江苏省东台市五烈中学邮编:224200杨荫林邮箱:yang10314@139.com手机:13584756016电话:0515-85420031(办公室)(本文发表于扬州大学《高中数学教与学》201108期)在现行(苏教版)普通高中课程标准实验教科书(必修5岔鸣之挂钻庆争随聂萌丙稻浊鞠脂走筹签钦麦篆荐措垮顾源晰施什钟舞乞阳太矩碟临留啥烦草盒搁汁断狼洒吹鞘捕澈拒贱袭年潦足铆忙师兆振舵窖牡汲耳搓很饭阻扰秉礼咙脱稀幌窖轮群山赂护赦因移铂衷谐枷惨藐蜡受妈盾慑督噪伺规打逝毡

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5、20031(办公室)(本文发表于扬州大学《高中数学教与学》201108期)在现行(苏教版)普通高中课程标准实验教科书(必修5)中,第一章解三角形复习题P24探究·拓展里,让我们再次阅读和欣赏了海伦---秦九韶公式习题是这样给出的:第9题.(阅读题)在<数学3(必修)>中,我们曾介绍过南宋时期的数学家秦九韶发现的求三角形面积的“三斜求积”公式它与古希腊数学家海伦给出的三角形面积公式是一致的“三斜求积”公式的证明已经失传,吴文俊教授根据我国古代几何证明的传统特点作了一个补证。(证明见课本)你能用正弦定理和余

6、弦定理证明“三斜求积”公式或海伦公式吗?证明:如图17如图17依然在现行普通高中课程标准实验教科书(必修5(苏教版))中,第一章解三角形习题1.2P17探究·拓展里,第12题如图,已知圆内接四边形ABCD中,AB=2,BC=6,AD=CD=4,如何求此四边形ABCD的面积.由此我们受海伦公式的影响,所以我们猜想:有没有已知圆内接四边形的四边求此四边形的面积公式探究一:如图2,已知圆内接四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.求圆内接四边形ABCD的面积S四边形ABCD在⊿ABC中,AC

7、2=a2+b2-2abcosB在⊿ABC中,AC2=c2+d2-2cdcosD=c2+d2+2cdcosB所以cosB=那么如图27(1)拓展结论一:设a,b,c,d为圆内接四边形ABCD的四边,p表示周长的一半,则(2)那么上述圆内接四边形ABCD中,AB=2,BC=6,AD=CD=4,则S四边形ABCD=思考一:如果同时有外接圆和内切圆的四边形,那么怎么样用它的四边之长来计算面积呢?7图3探究二:由图3知道四边形ABCD同时有外接圆和内切圆,那么∠B与∠D互补;a+c=b+d由探究一中拓展结论二:同

8、时有外接圆和内切圆的四边形,它的面积等于四边乘积的算术平方根.思考二:如果有内切圆的四边形,那么它的面积是不是还等于四边乘积的算术平方根呢?探究三:图4由余弦定理AC2=a2+b2-2abcosB=c2+d2-2cdcosD7又2S四边形ABCD=absinB+cdsinD……(4)为方便起见,设∠B+∠D=(3)(4)分别平方再相加得拓展结论三:四边形ABCD有内切圆,则其中a,b,c,d为边长,.从探究三的过程中,我们还得到了一般四边形

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