第三章微分中值定与导数的应用

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1、第三章微分中值定理与导数的应用在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法.本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节微分中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理.中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型,因而称为微分中值定理.一、费马引理：设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有

2、（或），那么。证：不妨设时，，对于，有，故当时，；当时，，由保号性，，故。罗尔定理（Rolle）：如果函数满足：（1）在闭区间上连续（2）在开区间内可导，（3），则至少存在一点，使得在该点的导数等于零：=0证明：由于在上连续，故在上有最大值和最小值。①时，则时，，故，，53即内任一点均可作为，②当时，因为，故不妨设（或设），则至少存在一点，使，因在内可导，所以因，故，，所以。注：1、证明一个数等于0往往证其，又，或证明其等于它的相反数2、称导数为0的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）。3、罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.分别举例说明

3、之.例：　　　　　　　　　　　　　　图：　4、罗尔定理中这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制.拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.例1：不求导数,判断函数的导数有几个零点及这些零点所在的范围..解：因为，所以在上满足罗尔定理的三个条件，所以在内至少存在一点，使，即是的一个零点，又在内至少存在一点，使，即是的一个零点，又为二次多项式，最多只能有两个零点，故恰好有两个零点分别在区间，内。53例2：证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.　设则在

4、[0,1]连续,由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件至少存在一点但矛故假设不真!二、拉格朗日中值定理1）Lagrange中值定理（或有限增量定理，微分中值定理）：如果函数满足：（1）在闭区间上连续，（2）在开区间内可导。则至少存在一点，使证明：构造辅助函数则在上连续，在内可导，且所以至少存在一点，使，即，所以显然时，此公式也成立，此公式称为Lagrange公式。注1：拉格朗日中值公式反映了可导函数在上整体平均变化率与在内某点处函数的局部变化率的关系.因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.2：直线，故既为有向线段值的函

5、数。3：当时，此定理即为罗尔定理，故罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形。53几何意义：若连续曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在点处切线平行于弦。Lagrange公式变形：设，，则有在或上就有（）或记，则有，[故也叫有限增量定理]注：当不是很小，而是有限时，定理：如果函数在区间I上的导数恒为零，则（，C为常数）证：对，，（设），则由Lagrange公式有由，有，所以，推论：连续函数在区间上有，则证：对，设，则，所以，即例3：证明证：设由推论可知令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.53例4：证明当时，。证：设，则在上连续，在内可导

6、，所以至少有一点，使，即，因，当时，。所以。例5：设在上连续，在内二阶可导，连接点的直线和曲线交于点（），，证明在内至少存在一点，使。证明：因在上连续，在内可导，又因为，所以至少存在一点，使至少存在一点，使因为点，，在同一直线上，所以。又因为在内可导，故在内可导，且在上连续，由Rolle定理，至少有一点，使，一、柯西中值定理柯西中值定理：如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内的每一点处均不为零，那么在内至少有一点，使成立。53证明：构造辅助函数则在上连续，在内可导，且，那么由罗尔定理，至少存在一点，使。即　　　所以　[设为：，其它与Lagrange辅助函数设法相同

7、。]注：1）Lagrange定理是柯西中值定理的情况2）：因中是同一个字母，若分子、分母分别使用Lagrange定理，则为两个字母。例5：设函数在[0,1]上连续,在(0,1)内可导.试证明至少存在一点使证:问题转化为证设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件因此在(0,1)内至少存在一点x,使即53课堂练习：1、设为满足的实数,试证明方程在内至少存在一个实根.2、设在上连续,在内可导,且证明:存在,使成立.3、设函数在上连续,在内可导,且若存在常数使得试证至少存在一点使得53罗尔（Rolle，1652~1719）简