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1、第九章二重积分习题9-11、设,其中;又,其中,试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系.解：由于二重积分表示的立体关于坐标面及对称,且位于第一卦限部分与一致,因此.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域关于轴对称,为的奇函数,即时,有;(2)当积分区域关于轴对称,为的偶函数,即时,有,其中为在的部分.并由此计算下列积分的值,其中.(I);(II);(III).解：令,,其中为在的部分,(1)由于关于轴对称,为的奇函数,那么表示的立体关于坐标面对称,且在的部分的体积为,在的部分的体积为,于是;(2)由于关于轴对称,为的偶函数
2、,那么表示的立体关于坐标面对称,且在的部分的体积为,在的部分的体积也为,于是.(I)由于关于轴对称,且为的奇函数,于是;(II)由于关于轴对称,且为的奇函数,于是;(III)由于关于轴对称,且为的奇函数,于是.3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:(1)与,其中是由轴、轴与直线所围成;解：由于在内,,有,所以.(2)与,其中.解：由于在内,,有,,所以.4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值：(1),其中；解：由于的面积为,且在内,,那么.(2),其中；解：由于的面积为,且在内,,那么.(3),其中；解：由于的面积为,且在内
3、,,那么.习题9-21、计算下列二重积分：(1),其中是矩形区域:；解：.(2),其中；解：..(3),其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；解：.(4),其中是顶点分别为和的三角形闭区域.解：.2、画出积分区域,并计算下列二重积分：(1),其中是由两条抛物线所围成的闭区域；解：.(2),其中是由直线及所围成的闭区域；解：.(3),其中是由及所围成的闭区域；解：.(4),其中是由所确定的闭区域.解：.a:=0..1;b:=x-1..-x+1;f:=exp(x+y);int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a);simp
4、lify(");3、如果二重积分的被积函数是两个函数及的乘积,即,积分区域,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即.证明：.4、化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域是：(1)由曲线、直线及轴所围成的闭区域；图形>plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1);解：.(2)由轴及右半圆所围成的闭区域；图形>plot([(1-x^2)^(1/2),-1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解：.(3
5、)由抛物线与直线所围成的闭区域.图形>plot([x^2,3-2*x],x=-3..1,color=1);解：.5、改换下列二次积分的积分顺序：(1)；解：.(2)；解：.(3)；解：.(4)；解：.(5)；图形>plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]],x=0..Pi,color=1);解：.(6).图形>plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]],x=0..2,color=1);解：.6、设平面薄片所占的闭区域由直线和轴所围成,它的面密度
6、,求该改薄片的质量.图形>plot([2-x,x],x=0..2,y=0..1,color=1);解：.7、求由平面及所围成的立体的体积.图形>with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x):display
7、({A,B,F,G,H},grid=[25,20],axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,style=PATCHCONTOUR);解：.8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长,宽的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为轴(),往公路延伸方向为轴(),且山坡高度为,试计算所需挖掉的土方量.图形>plot3d(10*sin(Pi*y/500)+sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);解：.9、画出积分区域,把积分表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域是：(1)；图形>plot(
8、[(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解：.(2)；图形>plot([1+(1-x^2)^(1/2),1-(1-x^2)^(1/2)],x=-1..1,color=
