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1、二重积分计算习题导读：就爱阅读网友为您分享以下“二重积分计算习题”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!二重积分的计算——习题解析与相关练习33二重积分计算习题导读：就爱阅读网友为您分享以下“二重积分计算习题”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!二重积分的计算——习题解析与相关练习33二重积分计算习题导读：就爱阅读网友为您分享以下“二重积分计算习题”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!二重积分的计算——习题解析与相关练习33习题解析与相关练习y利用极坐标计算二重积分∫
2、∫arctandσ作业P366xD2222其中D是由圆周x+y=4,x+y=1其中D及直线y=0，y=x所围成的在第一象限内及直线y=0，x所围成的在第一象限内的闭区域。的闭区域。解：在极坐标系中，在极坐标系中，于是yD={(r,θ)
3、1≤r≤2,0≤θ≤},arctan=θ4xyπ∫∫arctanxdσDD=∫∫θ⋅rdrdθ=∫θdθ∫rdr40331π21π13=()2⋅(22−1)=π22423364[知识整理知识整理]知识整理（1）直角坐标系下二重积分的计算）I、x型区域（先y后x）、型区域（V=∫∫f(x,y)d
4、xdy=∫dx∫aDbϕ2(x)ϕ1(x)f(x,y)dyII、y型区域（先x后y）、型区域（V=∫∫f(x,y)dxdy=∫dy∫cDdψ2(y)ψ1(y33)f(x,33y)dxIII、方法与步骤、绘出区域D的图形的图形：①绘出区域的图形：确定积分限：②确定积分限：计算积分：③计算积分：利用奇偶性简化运算。④利用奇偶性简化运算。（2）极坐标系下二重积分的计算）∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθD33Ω注：计算二重积分可利用区域D的对称性和被积函计算二重积分可利用区域的对称性和被积函数的奇偶性
5、简化计算。数的奇偶性简化计算。对ID=∫∫f(x,y)dxdyD有yf(x,y)是的偶函数（函数）f(x,y)是x、y的偶函数（奇函数）xx关于xD关于x、y轴对称y⊕2ID/2⇒ID=4ID/42ID/2(ID=330)例1求以xOy面上的圆域求以xOy面上的圆域D={(x,y)
6、x2+y2≤1}xOy为底，圆柱面22x+y=1为侧面，抛物面z=2−x−y22为顶的曲顶柱体的体积。并在极坐标系下求其二重积分值为顶的曲顶柱体的体积。z2解：如图所示，所求曲顶柱体的体积为如图所示，V=∫∫(2−x2−y2)dσD其中积分区域D
7、可表示为其中积分区域DOxyD={(x,y)
8、−1−x2≤y≤1−x2,−1≤x≤331}由D的对称性及被积函数f(x,y)=2−x−y22关于x关于x，y均为偶函数可知V=4其中2∫∫(2−xD12−y)dσ2D1={(x,y)
9、0≤y≤1−x,0≤x≤1}11−x232(2−x2−y2)dy=4∫[1−x2+(1−x2)2]dx03331为D在第一象限部分，于是在第一象限部分，V=4∫dx∫π002=4∫(cost+cos4t)dt31π231π3=4(⋅+⋅⋅⋅)=π223422220332解法2：极坐标系下解）解法：
10、（极坐标系下解）在极坐标系中，闭区域D可表示为在极坐标系中，闭区域DD={(r,θ)
11、0≤r≤1,0≤θ≤2π}于是V=∫dθ∫(2−r)rdr2002π1r1=∫[r−]
12、0dθ0432π3=∫dθ=π4033222π4例2计算二重积分∫∫xcos(x+y)dσDD是顶点分别为(0,0),(π,0),(π,π)的三角形闭区域解：y∫∫xcos(x+y)dσDπD=∫dx∫xcos(x+y)dy0330πx=∫xdx∫cos(x+y)dy00πxπx=∫xdx[sin(x+y)]
13、0πx330续解=∫x(sin2x−sinx
14、)dx0π1=∫xd(cosx−cos2x)02π11π=[x(cosx−cos2x)]0−∫(cosx−cos2x)dx02213=π(−1−)−0=−π2332π例3计算二重积分其中∫∫eDx+ydσy1D={(x,y)
15、
16、x
17、+
18、y
19、≤1}解：如图D=D1+D2ex+ydσ=∫∫ex+ydσ+∫∫ex+ydσ因此∫∫DD1D2=∫edx∫x−13300x+1−x−1edy+∫edx∫yx0−1101−x+1x−1e33dyy-1D1D21x=∫(e−12x+1−e)dx+∫(e−e2x−1)dx-1=33e−e−1【相
20、关练习】相关练习】①∫∫sinDx+y22D={(x,y)
21、π2≤x2+y2≤4π2}②③∫∫1−x−ydσ22D为圆域为圆域x+y≤423321+xy∫∫1+x2+y2dσDDD为半圆域为半圆域x+y≤1,x≥02332例4把下列二重积分∫∫f(x,y)dxdyD化为二次积分（写出两种积
