第二节简易递回数列的解法

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1、第二節簡易遞迴數列的解法在前一節中我們以實際的問題出發，依據題設條件構造一個數列áanñ並建立相鄰項間的遞迴關係。本節我們將介紹幾種常見的遞迴關係，解其遞迴方程式，求出一般項an(用n表示)。第一型：an+1=an+f(n)若一數列an滿足，其中f(n)式n的已知函數，a為常數，則由遞迴相加可得an之通項an=af(1)f(2)f(n-1)。[例題1]已知數列＜an＞定義為a1＝1，an＋1＝an＋2n，則an＝　　　　　。[解答]：n2－n＋1【詳解】因為已知關係式ak＋1－ak＝2k，kN分別將k以1，2，

2、3，…，(n－1)代入上式，可得a2－a1＝2a3－a2＝4a4－a3＝6　　　+）an－an－1＝2(n－1)，n2將上面各式相加，則得an－a1＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，n2∴an＝n2－n＋1，n2……(※)但是n＝1代入(※)也成立，故此數列的第n項an＝n2－n＋1，對於任意自然數都成立。[練習題]1.已知數列＜an＞滿足，a1=1，an–an+1=(n+1)anan+1，則an＝　　　　　。[解答]：2.設，求an。[解答]：第二型：an+1=an×f(n)若一數列an滿足，

3、其中f(n)式n的已知函數，a為常數，則由遞迴相乘可得an之通項an=a×f(1)×f(2)×…×f(n-1)[例題1]已知數列＜an＞滿足_______，數列的一般項an為______。[解答]：【詳解】：[練習題]1.設數列＜an＞之首項a1＝1，an＋1＝an，，則an＝　　　　　。[解答]：an＝n2.設，求數列前n項之和。[解答]：第三型：若一數列{}滿足，其中，p，q均為與n無關的常數，求之通式。(1)p=1時，即表以q為公差的等差數列，其通項公式為(2)p1，其通項公式為【證明】(1)當時

4、，知則為等差數列，首項為，公差為故。(2)當時希望化成比較係數得，故可得則。[例題2](1)數列{an}中﹐a1＝1﹐2an＋1＝an＋2﹐則an＝　　　　　﹒(2)承上﹐＝　　　　　﹒[解答]：　(1)2－﹐(2)2【詳解】　a1＝12an＋1＝an＋2Þan＋1＝an＋1設(an＋1－a)＝(an－α)Þα＝2∴a2－2＝(a1－2)a3－2＝(a2－2)×an－2＝(an－1－2)¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾an－2＝()n－1×(－1)∴an＝2－()n－1＝2﹒[例題1]設一數列＜an＞定義如下，a1＝

5、2，an＋1＝，試求an的一般項及之值。[解答]：(1)(2)【詳解】首先因為an＋1＝因此令bn＝，則右式可表為bn＋1＝1＋．bn又因為數列＜bn＞可表成bn＋1－2＝．(bn－2)，所以＜bn－2＞是首項為b1－2＝而公比為2的等比數列。於是bn－2＝()n－1．(b1－2)＝()n－1．(－)∴bn＝2＋()n－1．(－)∴an＝故所求一般項為an＝，n，其次，計算極限如下＝[練習題]1.第一節中河內塔問題的遞迴關係式為，，求一般項公式。[解答]：2.設一數列＜an＞定義如下，a1＝1，an＋1＝，試求

6、an的一般項。[解答]：第四型：觀察®歸納®猜想®證明[例題1]已知一數列＜an＞定義為a1＝1，an＋1＝，n＝1，2，3，…。(1)求a2，a3，a4。(2)觀察(1)的規則性，並推測第n項an(以n表示之)。(3)證明在(2)中所推測之結果。[解答]：(1)因為a1＝1，由所予遞迴定義可得(2)由a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…觀察數列＜an＞的規則性如下an的分子成等差數列，首項為1，公差為1；分母也成等差數列，首項為1，公差為2故可推測第n項an＝，(3)【證明】當n＝1時，顯然成立假設n＝k時原式

7、成立，即設成立則當n＝k＋1時，因為所以當n＝k＋1時原式也成立。故由，及數學歸納法可知對於所有自然數n，an＝恆成立。[練習題]1.已知一數列＜an＞定義為a1＝a，an＋1＝，n＝1，2，3，…。(1)求a2，a3，a4，a5。(2)觀察(1)的規則性，並推測第n項an(以n表示之)。(3)證明在(2)中所推測之結果。[解答]：(1)a2＝，a3＝，a4＝，a5＝(2)an＝(3)略1.設，(都是正整數)試證：(1)(2)展開式的整數部分為奇數。第五型：an+1=c1an+c2an-1(二階線性齊次遞迴數列

8、)遞迴關係式：an+1=c1an+c2an-1…….(*)，n³2，其中c2¹0，一般項an的求法。假設透過裂項的方法可將遞推式變形成為an+2-αan+1=β(an+1-αan)的形式，那麼，(an+1-αan)就成為以a2-αa1為首項，β為公比的等比數列。比較an+2-(α+β)an+1+αβan=0與an+1-c1an-c2an-1=0二式得α+β=c1，αβ=-c2即α,β為