7.1 直线的倾斜角和斜率

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1、7.1 直线的倾斜角和斜率作者：赵智红教学目标：　　（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，　　（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．　　（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．　　（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学重点、难点：直线斜率的概念和公式教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：（一）直线方程的概念　　如图1，对于一次函数，和它的图

2、像——直线有下面关系：　　（1）有序数对（0，1）满足函数，则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）．　　（2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足． 　　一般地，满足函数式的每一对，的值，都是直线上的点的坐标（，）；　　反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对x，y的值为坐标的点构成的．　　从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对，的值“变成了”二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系．　

3、　定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．　　以上定义改用集合表述：，的二元一次方程的解为坐标的集合，记作．若（1）（2），则．　　问：你能用充要条件叙述吗？　　答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．（二）直线的倾斜角【问题1】　　请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．　　　　　　；；　　过定点，方向不同．　　如何确定一条

4、直线？　　两点确定一条直线．　　还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．【导入】　　今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．【问题2】　　在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．　　学生：展开讨论．　　学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．　　通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三

5、角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．【板书】　　定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．　　（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．）　　特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．　　由此定义，角的范围如何？　　0°≤α＜180°或0≤α＜π  如图3　　至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．（三）直线的斜率【问题

6、3】　　下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？　　学生：在练习本上画出直线，写出方程．　　30°ß--à＝　　45°ß--à ＝　　135°ß--à＝　　（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）【演示动画】　　观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中系数变化的关系

7、　　(1) 直线变化→α变化→中的系数变化   （同时注意α的变化）．　　(2)中的x系数k变化→直线变化→α变化   （同时注意α的变化）．　　教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！【板书】　　定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即．　　这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的

8、量——斜率．　　指出下列直线的倾斜角和斜率：　　(1)＝-   (2)＝tg60°   (3)＝tg(-30°)　　学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°；（2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)画图，指出倾斜角和斜率．　　结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．　　注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．　　α＝0°     ß--à   ＝0　　0°＜α＜90°ß--à   ＞0　　α＝90°    ß--à  不存在　　90°＜α＜180°ß--à