大型线性方程组的迭代解法

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1、东北大学博士学位论文大型线性方程组的迭代解法姓名：邵新慧申请学位级别：博士专业：计算机软件与理论指导教师：李长军20060701东北大学博士学位论文摘要大型线性方程组的迭代解法摘要随着计算技术的发展，从偏微分方程、线性规划、网络分析、结构和非结构问题的有限元分析等领域中提出了求解大型稀疏线性方程组的问题。本文就是针对大型线性代数方程组的求解问题进行了系统的研究。首先针对两种特定线性方程组一正实线性系统和广义严格对角占优线性系统进行了分析和讨论。针对正实线性系统给出了一种新的迭代解法。该迭代法的构成是基于

2、系数矩阵的混合形式的分解。迭代法需要选择一个对称正定矩阵历通过适当选取矩阵口新迭代法是收敛的，并且以定理的形式给出了两种选择口的方法，又通过例题给出了迭代法的计算过程。可以看出，对于用迭代法求解正实线性系统，新迭代方法要比其它的迭代方法如SOR法更容易实现。其次利用阶梯矩阵及其一般性的定义和性质构造出一种新的迭代法。基于此新矩阵类的迭代方法的显著特征是它对于并行计算很容易被实现。特别地，关于AOR方法的一些性质都被延伸到该新方法中，并针对Hermitian正定矩阵进行了新方法收敛性的分析。最后，给出了一

3、些例子来表明新方法的优越性。文中以Navier-Stokes方程和Stokes方程作为模型问题，介绍了带稳定化的混合有限元离散方法和M．A．C格式的有限差分离散方法，由此引出了鞍点形式的方程组。利用模型分析给出了鞍点问题的类型及特点，分析了常规的迭代解法失效于求解鞍点问题的原因。寻找具有更简单的计算格式或收敛更快的迭代格式，成为热门的研究课题。针对鞍点问题给出了新的有效求解方法。新方法是通过对近年来发展起来的广义SOR方法，SOR—Like方法及广义AOR方法进行了分析和总结，并针对对称鞍点线性系统的特

4、有的结构特点而得到的含有两个迭代参数的迭代方法，称之为广义SOR．Like方法，并对广义SOR．1ike方法进行了收敛性分析，最后又通过数值算例的分析指出广义SOR—like方法同SOR．1ike方法相比，收敛速度大大提高。在SOR—Like方法，广义AOR方法及广义SOR—like方法的基础上，又给出了一种求解鞍点问题新的迭代方法。通过分析指出新方法实际上是SOR—Like方法和广义AOR方法的推广，从而为求解鞍点问题提供了又一种有效且可行的迭代解法。II—东北大学博士学位论文摘要关键词：鞍点线性系统

5、，SOR—like方法，广义SOR—like方法，广义AOR方法，阶梯矩阵，正实线性系统，对称正定矩阵，Navier—Stokes方程。一III—东北大学博士学位论文AbstractIterativeMethodsForLargeLinearSystemsAbstractWiththedevelopmentofthecomputingtechnology,solvingthelargelinearsystemsisobtainedfrommanyscientificresearchandengineer

6、ingcomputationsuchaspartialdifferentialequations，linearprogramming，networkanalysis，thefiniteelementanalysisoftheconfigurationandunconfigurationproblem．Inthisthesis，thesolvingofthelargelinearsystemsisconsidered．First，twospecificlinearequations----theposit

7、ivereallinearsystemsandthegeneralizedStrictlydiagonallydominantlinearsystemsareconsidered．Forthepositivereallinearsystems，anewiterativemethodisgiven．Thenewiterativemethodisbasedonamixedtypesplittingofthecoefficientmatrix．Theiterativemethodneedchooseamatr

8、ixDwhichissymmetricandpositivedefinite(SPDl．ItisshownthattheproperchoiceofmatrixDcanmakesuretheconvergenceofthenewiterativemethod．HeretwochosenmethodsofthematrixDisgivenintheformoftheorem，andthecomputingcourseoftheiterativ