2006浙江高中数学竞赛试题

2006浙江高中数学竞赛试题

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1、2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷一、选择题1、下列三数的大小关系正确的是 ()A、 B、 C、 D、2、已知两点A(1,2),B(3,1)到直线L距离分别是,,则满足条件的直线L共有()A、1条B、2条C、3条D、4条3、设为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如。记,,,则()A、20B、4C、42D、1454、设在平面上,,所围成图形的面积为,则集合的交集所表示的图形面积为()A、B、C、D、5、在正2006边形中,与所有边均不平行的对角线的条数为()。A、2006B、C、D、6、函数在

2、时的最小值为()。A、2B、4C、6D、8二、填空题7、手表的表面在一平面上。整点这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点到整点的向量记作,则=。8、设且,则对任意。-9-9、在中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是。10、设是非零实数,,若,则。11、已知,。若为单元素集,则。12、。三、解答题13、在轴同侧的两个圆:动圆和圆外切,且动圆与轴相切,求(1)动圆的圆心轨迹方程;(2)若直线与曲线有且仅有一个公共点,求之值。14、已知数列满足,满足,,证明:。15、六个面分别写上1,2,3,4,5,6的

3、正方体叫做骰子。问1)共有多少种不同的骰子;2)骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差,变差的总和叫做全变差。在所有的骰子中,求的最大值和最小值。-9-2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准一.选择题1.C2.C3.D4.B5.C6.B二.填空题7.8.n9.10.11.12.详细解答如下:一.选择题1.下列三数的大小关系正确的是(C)(A)(B)(C)(D)解:因为,。令,则。又因为,所以。再令,则,而,所以。综上所述,有。因此选(C)。2.已知两点A(1,2),B(3,1)到直线L

4、的距离分别是,则满足条件的直线L共有(C)条。(A)1(B)2(C)3(D)4解:由分别以A,B为圆心,,为半径作两个圆,则两圆外切,有三条共切线。正确答案为C。3.设为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如。记,,则=(D)-9-(A)20(B)4(C)42(D)145.解:将记做,于是有从16开始,是周期为8的周期数列。故正确答案为D。4.设在平面上,,所围成图形的面积为,则集合的交集所表示的图形面积为(B)。(A)(B)(C)(B).解:在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称,由此的图形面积只要

5、算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此,只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得,的图形在第一象限的面积为A=。因此的图形面积为。所以选(B)。5.在正2006边形中,与所有边均不平行的对角线的条数为(C)。(A)2006(B)(C)(D).解:正2n边形,对角线共有条。计算与一边平行的对角线条数,因,与平行的对角线的端点只能取自2n-4个点,平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。因此正确选项是C。6.函数在

6、时的最小值为(B)。(A)2(B)4(C)6(D)8解:(由调和平均值不等式)-9-要使上式等号成立,当且仅当(1)-(2)得到,即得。因为,所以当时,。所以因此应选(B)。二.填空题7.手表的表面在一平面上。整点1,2,…,12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点i到整点(i+1)的向量记作,则=。解:连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正12边形。相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角,为30度。各边向量的长为。则。共有12个相等项。所以求得数量积之和为。8.设且则对任意,n。解:,-9-所以,9在

7、中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是。解:三个数成递增等差数列,设为,按题意必须满足。对于给定的d,a可以取1,2,……,2006-2d。故三数成递增等差数列的个数为三数成递增等差数列的概率为。10.设是非零实数,,若则。解:已知………………(1)将(1)改写成。而。所以有。即,也即将该值记为C。则由(1)知,。于是有,.而。11.已知,。若为单元素集,则。-9-解由为单元素集,即直线与相切,则.12.=。解:设,则,,,即有,,。所以有.于是可得,且当时,.因此.解答题13.在轴同侧的两个圆:动圆和圆外切

8、(),且动圆与轴相切,求(1)动圆的圆心轨迹方程L;(2)若直线与曲线L有且仅有一个公共点,求之值。解:(1)由可得由N,以及两圆在轴同侧,可知动圆圆心在轴上方,设动圆圆心坐标为,则有整理得到动圆圆心轨迹方程。……………………(5分)-9-另解由已知可得,动圆圆心的轨迹是以为焦点,为准线,且顶点在点(不包含该点)的抛物线,得轨迹方程,即…………………(5分)

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