第2章 张量分析(6.8)

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1、第2章张量分析第2章张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有个矢量，它们构成一个集合，其中每个矢量称为的一个元素。如唯一地确定的另一个元素，及（为标量）也给定内唯一确定的元素，则称为线性（矢量）空间。中的零元素记为，且具有.2．空间的维数设为个标量，若能选取，使得且不合为零，则称此个矢量线性相关，否则，称为线性无关。例1位于同一平面内的两个矢量和（如图）是线性无关的，即若和为任意值，且不全为零。例2位于同一平面内的三个矢量，，是线性相关的，则恒可找到,,（不全为零）使如图：集合内线

2、性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。设的维数为，则记为，欧氏空间为。3．空间的基和基元素中任意个线性无关元素的全体称为的一个基。基的每个元素称为基元素，由于的确良基元素是线性无关的。于是内任一个元素可表示成基元素的线性组合。设为的任选的基，则有：，为任意的不全为零的标量但总可选取及不全等于零，使得或者23第2章张量分析①不全等于零，所以不全等于零，且为有限值。②内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为内至少只有个元素是线性无关的。设及是的两个基，则中的每个基元素都可用的线性组合来表示；反之

3、亦然，因此，中的任两个基元之间存在唯一的变换关系。③对于同一个元素，采用不同的基时，其系数不同甘共苦。因为与间有确定的变换关系，因此，与间亦有确定的变换关系。④空间的基往往与坐标系相关连，每一种坐标系有一个与之对应的确定的基，其中则是矢量在基或坐标方向的分量值。⑤空间的元素如为矢平日里，则基元素称为基矢。如前所述，不同坐标系的基矢之间存在确定的变换关系，它是坐标变换的基础。正交基：基内各基矢相互正交的基，称为正交基。标准正交基：基矢为单位矢量的正交基，称为标准正交基。现以欧氏空间为例，这是三维空

4、间。在欧氏空间内，笛卡儿坐标系为标准正交基，记作，在此坐标系内，任一矢量（位矢）为是不因坐标位置而改变的当只一个坐标有变化时，例如有变化此时，，因此，为单位矢量。都等于1，且彼此正交，故笛卡儿坐标系的基为标准正交基。正交曲线坐标系的基亦为正交基，记作，用表示坐标值，则基矢定义之①随坐标位置而变化，②，因此是正交基，但不是标准正交基。23第2章张量分析例如：在极坐标系内其中，因此，，令（拉梅系数）及则为正交曲线坐标系的标准化正交基。因此，显然有§2.2字母指标法1．字母标号法：（标号：indexo

5、rsuffix）点位置：（矢径）矢量：（位移）（速度）应力（张量）：应变（张量）：微分符号：约定：英文字母下标表示三维指标，取值1，2，323第2章张量分析2．求和约定：矢量点积：两矢量分别记为哑标：在表达式式中等项中，某指标重复出现两次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和，该重复指标称为“哑标”或“伪标”哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）线性变换：上式中，为哑标表示求和，而在每项中只出现一次，称为自由指标。自由指标表示，若轮流取该指标取值范围内的任一值，关系式恒成立。自由指标仅表示为轮流

6、换值，因此也可以换标，如，上式可写为（同时换标）注意：①自由指标必须整个表达式换名②同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和。如：③哑标只能成对出现。否则要如求和号或特别指出（就书中标下加“-”）④由不能得出⑤若重复出现的标号不求和，应特别声明§2.3符号和1．符号（kronecherdelta）定义为性质：对称性23第2章张量分析应用：2．排列符号（置换符号）（PermutationSymbol）123循环方向定义：性质：下标改变奇次位置时改变正、负号，下标改变偶数次位置时不改变符号。应用

7、：3．之关系（恒等式）矢量恒等式设而又23第2章张量分析根据矢量恒等式，有：（矢量恒等则矢量的各分量应相等）由于对任意的上式均成立，则：①进一步，有：②③§2.4坐标变换：老坐标系：新坐标系（坐标轴夹角的方向余弦：构成一个二阶张量（与一般不同，它是两个坐标系的基矢构成的）称为转移张量（shifter）（总是新坐标在前，老坐标在后）性质：①不是对称张量而②是正交张量（*）又新老坐标系基矢量的关系式：上面第一式两边乘以则上面第二式两边乘以则则：代入（*）式，有证毕张量的应用：i）矢量的坐标变换：又则

8、：或矢量形式为：23第2章张量分析ii）二阶张量的坐标变换：与上同样：张量写法为：§2.5张量的代数运算1．张量的坐标系不变性及其记法客观量都是与坐标系无关（坐标系只是人为的选择工具），如长度是不变的，但测量长度可用不同的工具），（若张量与坐标系选择无关，则张量反映了一个客观量）。矢量（小写字母）笛卡儿坐标系基矢（为标准化的正交曲线坐标基矢）则与与有一定的变换关系（即坐标变换公式），通过基矢的变换来导出它们之间的变换关系。称为一阶基（由三个矢量构成的基）①矢量可用一个方向来确定，在方向，应力矢为