《奥数》怎样求一元二次方程的整数根

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1、奥数：怎样求一元二次方程的整数根十进制与分式有关的竞赛题举例相交线与平行线几何不等式初步配对原则在解竞赛题中的应用怎样求一元二次方程的整数根近几年的数学竞赛中常出现含有参数的一元二次方程的整数根问题，解这类问题需要有较强的综合分析问题的能力。本文结合几例谈谈这类问题的常见解法。 一、直接求根法利用因式分解直接求出方程的根，再结合整数的有关性质来解决问题。 例1设关于x的二元方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。（2000年全国初中数学联赛题） 解原方程可化为。[（k-4）x+（k-2）][（k-2）x+（k+2）

2、]=0。∵（k-4）（k-2）≠0，∴，。∴，（，）。消去k，得。∴，∵、都为整数。又∵k≠2，∴。∴（∵x≠-1，∴舍去）。分别解之得∴k=6，3，，经检验得，满足条件的k为6，3，。 二、利用判别式我们知道，二次方程（a≠0）在△≥0时，有两个实数根，要使方程有整数根，则△必须是完全平方数，且是2a的整数倍。利用这个结论，结合整数及其它有关知识，可求参数及方程的整数根。 例2当x为何有理数时，代数式的值恰为两个连续正偶数的乘积？（1998年山东省初中数学竞赛题） 解设两个连续正偶数分别为k，k+2。则有。即。由x为有理

3、数。∴△必为完全平方数，即。令（p≥0），有。[p+6（k+1）][p-6（k+1）]=113×5=565×1。∵p≥0，k＞0，可得，①。②解①得k=8，代入原方程解得x=2或。解②得k=46，代入原方程解得x=-17或。检验得，当x=2或x=-17时，恰为两个连续正偶数8或10或46或48的乘积。评析设，是将讨论△为完全平方数问题转化为解二元二次不定方程问题，最后利用因数分解的方法求出其正整数解。 三、利用根与系数关系有时，不能判断为一完全平方数时，可考虑利用根与系数关系（韦达定理），结合解不定方程求解。 例3求满足如

4、下条件的所有k的值：使关于x的方程的根都是整数。（1998年江苏省初中数学竞赛题） 解当k=0时，原方程可化为x-1=0，它有整数根x=1。当k≠0时，原方程为二次方程，设它的两根分别为、，则有（1）-（2）得。∴。∴。∴或，解得或k=1。又∵。当和k=1时，均有△＞0。综上所述，满足条件的所有k的值为k=0，，1。 四、反客为主若已知条件中，参数的次数低于未知数的次数时，可将方程看成关于参数的方程进行分析求解。 例4试求出所有这样的正整数a，使方程至少有一个整数解。 解原方程可化为，∴（x≠-2）。∵a是正整数。∴a≥1

5、。即。整理得。解之得-4≤x≤2。∵x是整数，显然x≠-2。∴x只能取-4，-3，-1，0，1，2。将x=-4，-3，-1，0，1，2代入原方程可得a=1，6，10，3，，1。综上所述，满足条件的正整数a的值有4个。即a=1，6，3，10。 十进制我们通常接触的整数是十进位制的整数.十进位制记数法就是采为十进一的法则进行记数的方法。例如:1999就是由1一千，9个一百，9个十和1个九组成的，因此1999这个数可以写。对于任意一个正整数A，用这种形式可以写成…。这里的可以从0，1，2，3，…，9这十个数字中取值，且。另外，A

6、还可以写成。其中数码叫个位数，叫十位数，…，通常叫首位数。数的进位制有很多种，十进制是最常见的，由以上可以类推，若A能写成。其中，，…，从0和1这两个数字中选取，且，那么A就是一个二进制的数。计算机的设计使用了二进制。二进制数简记为。用同样的方法可以得到各种进位制的整数。本期只涉及十进位制整数，下面如果不加说明，所讲的整数都是十进制整数。1、十进制表示法的应用在应用十进制制表示法解题时，下面两个结论应引起重视。（1）对于一个十进制整数这样的表示法是常用的：，，…。（2）对于一个十进制整数，的结果叫做A的各位数字的和。★例1

7、若一个两位数，加是2之后的各位数字之和只有原数字和的一半，求所有这样的两位数。解：设此两位数为，则。其中从1，2，…，9中取值，y从0，1，2，…，9中取值。依题意，的数字和比的数字和减少，因而=。即十位数为+1，个位数为y+2-10。则由题意得，。这样所得的两位数可能为68，86，59，95。经检验，86，95均不合题意，于是所求的两位数为68和59。★★例2若一个首位数字是1的六位数乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数，求原来的六位数。思路整数相乘的基本方法是采用竖式计算，因此有下面的解法：解法1观察算式。因为3只

8、有乘以7，其积的末位数才是1，所以e=7,且进2于十位。这就告诉我们3乘以d应得到一个积的末位数是5的整数，所以d=5，且进1于百位。按照这种方法推下去，最后可知原来的六位数是142857。说明利用竖式计算整数的乘法，对于具体的数字运算是比较简单的。但对于某些数位上含有字母的整数运算，这种解法就需要有较