差值与拟合方法习题

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1、第五章差值与拟合方法5.1引例定理5.3.设函数y=f(x)在[a,b]上有n+1阶导数，Pn（x）是满足插值条件的n次插值多项式，则有对任何，存在使（5.7）成立。式中。在定理5.3中，由于f（n+1)(x)一般不知道，插值误差不能算出，但若能计算出

2、f（n+1)(x)

3、在[a,b]上的最大值Mn+1，则可得余项估计式（5.10）利用式（5.10）可以估计插值函数在某一点的误差，若还想估计函数在插值区间[a,b]上的误差，可计算出这样，可得在整个插值区间[a,b]上的误差估计（5.11）由n次插值多项式的唯一性及式（5.7），则有如下结论：

4、定理5.4若函数f(x)在[a,b]上有n+1阶导数，则f(x)有如下展式：对n=1的插值多项式，称为线性插值，n=2的插值多项式称为抛物线插值。【例5.1】已知的函数表为x3.03.13.23.33.4y=f(x)1.0986121.1314021.1631511.1939221.223775试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值，并估计相应的误差。解线性插值需要两个节点，内插比外推好，因为，故选，由的Lagrange插值公式，有所以有为保证内插，对抛物线插值，选取三个节点为由n=2的Lagrange插值公式，有故有。为考虑误差，由于当时

5、，有，所以线性插值计算的误差估计为而当时，，故抛物线插值计算的误差估计为可见抛物线插值比线性插值精确，这在一般情况下也是成立的。【例5.2】在上给出的等距节点函数表，若想用二次插值来计算的近似值，并要求截断误差不超过，问此函数表的步长h应为多少？计算时要取多少位有效数字？解设为上的等距节点，要用二次插值应取三个相邻的节点。设是上的任何三个相邻节点，则当时，有注意到并利用n=2的Lagrange余项定理有函数在的插值余项为因为，且所以要，只需，于是得到取h=0.0057可满足要求，由得，故造表时应在上取1404个等距节点来计算函数值，至少取7位

6、有效数字。5.3.2Newton插值定义5.1已知函数f(x)在n+1个互异节点上的值分别为记式中是中互不相同的k个节点，+1称为f(x)关于节点的k-1阶差商。规定零阶差商是函数值本身：，于是一阶差商可写为利用差商的定义，可以得到有关差商的性质：性质1差商可表示为节点处函数值的线性组合：即式中证明：用数学归纳法。当k=1时，，成立。假设当k=n-1时成立，即有则当k=n时，由定义性质3：若在含节点的区间[a，b]上n阶连续可微，则至少存在一点，使得表5.1差商表xf（x）一阶差商二阶差商……n阶差商........……当插值节点是等距节点是

7、，即，则Newton插值公式可以演变成为两个公式：Newton前插公式和Newton后插公式，其用于等距节点插值时更为简单，这两个公式可利用插值节点等距的特点从Newton公式简化得到，具体形式如下：①Newton前插公式式中。称为向前差分。②Newton后插公式式中，称向后差分。通常对等距插值问题，当要计算的x值靠近时，用Newton前插公式，而当x靠近时，用Newton后插值公式。这两个公式也可用相应的差分表计算相应的差分值。【例5.3】给定数表：x124568f(x)028121828试分别用二次和四次Newton插值多项式计算的近似值

8、。解作差商表：xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商1021/301/30-1/602231/31/6-1/124841-1/35126-1/36185828用二阶Newton插值近似计算，应选与5.8最近的3个节点，由表中行数据有所以要求来计算，取与5.8最近的5个节点，由表中行数据有所以。5.3.2Hermite插值先看如下例子：【例5.4】设有四阶导数，且，求函数的一个插值多项式，并用此近似函数来计算的近似值，请尝试给出你所得插值多项式的误差关系式，估计近似计算的误差。解：仿照Lagrange插值函数的构造方法来做之。因为给

9、定了4个数据信息，选择3次多项式作为的插值多项式。令的3次插值多项式为式中都是与无关的3次多项式。插值的特点是插值函数要与给定的关于的所有数据相等，即满足插值条件：由此可得有关的一组值：利用这组数据，可得函数分解形式，利用这种分解可以求出。例如为求，找到与之有关的数据：。由该数据可以得出x=2是的二重根，注意到是3次多项式，故可设的分解形式为由条件，可以求出式中的a,b，最后求得类似地可以求出其它3个待定函数：故从而为求其余项，令因为由，有可分解为（5.8）为求出k（x），做辅助函数（5.9）则有：在t=1，2，x时，g(t)=0，即g(t)

10、在[a,b]上有3个零点。显然g(t)在由1，2，x组成的2个闭区间上满足Rolle中值定理，故g'(t)在[1,2]上有2个零点，另一方面，有g'(1)=g'(2