第三讲重复测量资料的方差分析

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1、第三讲重复测量资料的方差分析第三讲重复测量资料的方差分析一、重复测量资料的概念例2—1测量8例受实试者在餐后不同时间的血糖值，以研究血糖的变化规律。见表2-1表2-1不同受试者在不同时间的餐后血糖（mmol/L）code12345678餐后5.325.325.945.495.716.275.885.32餐后30分钟5.325.265.885.435.496.275.775.15餐后60分钟4.984.935.435.325.435.665.435.04餐后90分钟4.654.705.045.044.935.264.93214.48上述研究中对每一

2、个观察单位重复进行4次观测，每一次观察同一个指标，这样所获得的资料称之为重复测量的资料一般说来，研究设计中考虑到以下问题时应采用重复测量研究设计及其方差分析：1、研究主要目的之一是考察某指标在不同时间的变化情况。如考察某种减肥药的疗效，需随访研究对象在一段时间内休重的变化。2、研究个体间变异很大，应用普通研究设计的方差分析时，方差分析表中的误差项值将很大，即计算F值时的分母很大，对反应变量有作用的因素常难以识别。应用重复测量设计时可将受试者内变异从普通方差分析表的误差项中分离出来，减小误差项。如以家庭为观察单位，考察家庭中每一成员对某类食品的喜爱

3、程度；以窝别为观察单位，观察一窝仔鼠食用某种饲料后体重增加情况；以人为观察单位，观察牙齿中患龋齿的个数；以某集团公司为观察单位，考察其旗下上市子公司股票价格表现等等。所有这些类型的资料都存在一个共性，即观察结果相互之间存在一定程度的内在相关性，即不满足方差分析、线性模型应用的前提条件，即各观测结果间相互独立。重复测量仍然应用方差分析的基本思想，将反应变量的变异分解成以下四个部分：1、研究对象内的变异，又称为组内效应，即测量时间点（或测量条件下）的效应212、研究对象间的变异，有称为组间效应，即处理因素(treatment)的效应3、上述两者的交互

4、作用，组内效应和组间效应的交互作用，表现为在不同时间点（测量条件），处理因素的效应不同。4、随机误差变异如果没有处理因素的干预，则只有测量时间点（或测量条件下）的效应，称为单因素的重复测量设计，如果其满足重复测量的单因素方差分析的条件，则可以使用方差分析，否则要使用其它的统计分析方法。二、单因素的重复测量资料方差分析：一可以使用多元方差分析，二可以使用一元方差析，以下对此分别进行阐述。1、使用多元方差分析的应用条件在第一章中我们已经学过，多元方差分析是用于分析多个相关变量的综合分析，对于单因素重复测量资料中各时间点的观察值也是存在相关关系，故其可

5、以使用多元方差分析，但其必须满足多元方差分析的条件，其条件再次被重复如下：A、各时间点（或各测量条件）下观察结果变量之间存在相关关系。B、结果变量总体的服从多元正态分布。2、一元方差分析的应用条件。各时间点组成的协方差阵(covariance21matrix)具有球形性(sphericity)特征或球形对称。可使用Mauchly法检验协方差阵是否为球形对称。Box(1954)指出，若球形性质得不到满足，则方差分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来是真的无效假设（即增加了I型错误）。何为球形对称呢？所有两两时间点变量间差值对应的方差相等。大家对

6、以下的矩阵应该是比较熟悉了，不熟悉的再熟悉一次。⎛s2s122”s12a⎞11⎜222⎟ss”s222a⎟V=⎜21⎜####⎟⎜2⎟22⎟⎜ss”sa2aa⎠⎝a1s12(y1i−1)2(n−1)1=s12(y1i−1)(y2i−2)n−1)2=y1iy2i−y1iy2i=s2rij=上述矩阵为方差-协方差矩阵（variance-covariancemetrix）,也称为协方差阵（covariance-metrix），对角线上为方差，对角线的两侧为协方差。对于任意两测量时间点yi与yj变量间差值对应的方差可采用协方差矩阵计算为：2222sy=s

7、+s−2syiyjyiyji−yj2222如：sy=s+s−2s112212−y12如我们已有协方差阵，见表2-2，以此表计算各时间点差值的方差。表2-221各结果变量的协方差阵∑∑∑∑∑Y1Y2Y3Y4Y11051015s1-22=10+20-2(5)=20s1-32=10+30-2(10)=20s1-42=10+40-2(15)=20s2-32=20+30-2(15)=20s2-42=20+40-2(20)=20s3-42=30+40-2(25)=20Y25201520Y310153025Y415202540本例差值对应的方差精确相等，说明球

8、形对称。当然，在实际的数据分析中，各时间点的方差精确相等是一个小概率事件，通常表现的是大家的方差相差不多，经过统计学检验这种差异在α=0