人工边界条件简介

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1、人工边界方法：无界区域上的偏微分方程数值解简介1、人工边界条件的简单介绍人工边界条件：是指在一些问题中物理区域是无界的，这给问题的数值求解带来了很多困难，而已有的比较成熟的数值计算方法都是在有界条件下才能应用的。解决这个问题的办法就是引进一个人工边界，将无界的物理区域分割为两个部分：有界的计算区域和剩余的无界区域。如果弄够在人工边界上找到原问题的解满足的边界条件，就可以将原问题化简为有界域上的问题进行数值计算求解了。在一些文献中经常直接将原问题的解在无穷远处满足的条件移植到人工边界上，例如Dirichlet边界条件(或者Neumann边界条件)是经常被应用的。一般的讲，它们不是原

2、问题的解在人工边界上满足的准确边界条件，而仅仅是一个非常粗糙的近似边界条件。如果希望在有界计算区域上获得原问题的具有一定精度的数值解就必须保证所选取的有界计算区域足够大，但是在一个很大的有界计算区域上数值求解偏微分方程仍然不能大量的减少计算量和占用的内存。因此核心问题是对已知的问题和引进的人工边界如何构造出原问题的解在人工边界上满足的合适的人工边界条件，从而将原问题化简为等价的或者近似的有界区域上的问题。怎样的人工边界条件是“合适的”？它应该满足的基本要求是：（1）简化问题是适定的，即简化问题存在唯一解并且连续依赖于问题的初值和边值。（2）简化问题的解在有界计算区域上等于原问题的

3、解，或者简化问题的解是原问题的解在有界计算区域上的一个很好的近似。（3）为了实现减少计算量和节省内存的目标，有界计算区域应尽可能的小。（4）有界计算区域上的简化问题易于数值求解。人工边界条件可分为显式人工边界条件和隐式人工边界条件。显式人工边界条件又可分为整体人工边界条件，局部人工边界条件和离散人工边界条件；隐式人工边界条件主要由隐式积分的形式给出。人工边界条件大致的分类情况及应用：整体人工边界条件：一般是在人工边界上由包含未知函数及其微商的积分等式给出；绝大多数准确人工边界条件是整体的，对无界区域上的椭圆型方程进行求解，很自然的与有限元方法结合；但是需要较大的计算量和内存，需要

4、快速算法。局部人工边界条件：由包含未知函数及其微商在人工边界上的等式给出；一般可以被用到线性和非线性波动方程的计算；但是一般局部人工边界条件仅仅是原问题的准确人工边界条件的近似，如果选用高精度的，将出现未知函数的高阶微商。离散人工边界条件：就是直接将无界区域离散化找出离散解在人工边界上满足的条件。隐式人工边界条件：由包含未知函数及其微商在人工边界上的隐式积分等式给出；对人工边界的形状没有任何的限制，大多数来源于边界元与有限元方法的耦合式。2、数值例子（1）一个自然的想法是将未知函数在无穷远处满足的边界条件移到人工边界上。上面无穷远处的条件是当时有界。由于无限远处的界是待定的，不能

5、直接将这个条件移置到人工边界上。从偏微分方程的理论知道上面方程的解在无穷远处满足（2）将这个条件移置到人工边界上，我们得到上的一个人工边界条件：（3）其中表示区域在上的单位外法向量。应用上面人工边界条件（3）可将原问题简化为有界计算区域上的边值问题：（4）下面检查条件（3）是否满足“合适的”人工边界条件的基本要求。从偏微分方程的理论可知上述简化问题（4）存在唯一的解，并且解对已知函数，是连续依赖的，因而条件（3）满足第一个基本要求。进一步考察化简问题的解在区域上是不是原问题的解的一个“很好”的近似。从以上可以看出解在区域上仅是原问题的解的一个很粗糙的近似。在（1）中取，，；这里的

6、为极坐标，此时问题（1）的解为：对应的简化问题（4）的解为：与在上的误差为：在上满足Laplace方程并且，在上的最大值和最小值在人工边界上达到。可以得到误差在上的最大模为：，从这个例子可以看出应用人工边界条件将问题进行简化，简化问题的精度依赖于人工边界的位置。要得到高精度的近似解，则有界的计算区域必须很大，这需要很大的计算量和存储量。因而将原问题的解在无穷远处满足的条件简单的移植到人工边界上不能克服区域的无界性给数值计算带来的本质困难。人工边界方法的基本思想是对给定的问题通过引进人工边界将原问题简化为在尽可能小的有界计算区域上进行数值计算。它的核心技术是对给定的问题在人工边界上

7、如何找出原问题的解满足的准确边界条件或设计出高精度的近似人工边界条件。