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《泛函补充题2(微分算子范数)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第一章补充题：记，.定义.证明.解释:将有界集映射为无界集.证：(1)对于任意的,因此知道是有界的,且.反之,我们要证明.事实上,我们可以取特殊的如下:,这里,是小于1的正数.则显然且容易算出因此由此得到.又因为可以是任意小的正数,因此.(2)解释:是有界算子,因此必将有界集映射为有界集.进而注意到并不是中的有界集,因此“将有界集映射为无界集”是指视为由到的算子(的定义域选为).此时,和分别是中的有界集和无界集,而其实是中的无界集.也可解释为:,.1．设是距离空间中的子集，证明是疏朗集的充分必要条件是的闭包无内点.证：[必要性]设是疏集,则对于中的任何一个非空开
2、集,均有开邻域不含中的点.若,即存在某个点,因此存在,使得.这表明,中每一个点的任何邻域中都含有中的点,此与是疏集相矛盾.[充分性]设的闭包无内点，即.设是中的任意一个开集,如果不含中的点,当然也不含中的点;如果含中的点,即,由是内点,因此存在,使得.因为,故中总含有不是的点.注意到不是聚点又不是中的点,因此存在,使得,而中不含中的点,由此而即知是疏集.补充题．设有数列满足,当.证明(是个常数)是中的一个列紧集.证.只需证明对于任意的,有列紧的网即可.事实上,因为,故存在某个,使得当以后,恒有.对于正整数和,定义.由定义如下的集合:.则可断言:是的列紧的网.因此
3、是列紧集.(i)是的网.因为对于每一个,取,则根据和之间的关系,容易算出.因此是的网.(ii)是列紧的.事实上,因为数列收敛,因此,对于每一个,,故,进而,也是有界集,且界可取为.若记,则显然,且也是有界集,因此是列紧集(在Euclid范数意义下),又有限维空间中任何两个范数都等价,因此在极大模(也就是)范数意义下是列紧的,故在极大模(也就是)范数意义下是列紧的.补充题．对于取定的,定义为:,.证明:(i);(ii)求出;(iii)提出条件,使得有有界逆,求出和.证：(i)由定义,显然,.所以,映射有意义.对于任意的数及,成立,所以是线性算子.进而,对于任意的,
4、,故是有界的,且.(ii)断言.只需再证.事实上,对于,显然.而,其中.由此易得.(iii)断言:如果,则有有界逆,且.(*)事实上,当时,显然上述定义(*)是有意义的,不妨记为.容易看出,所以,同理,所以,因此有逆,且.利用上面(ii)中所采用的方法,容易得到.反之,如果有有界逆,则存在正数,使得.取,则.而.由此得到2．设是距离空间，是的子集，对任意的，记，则（1）是的连续函数.（2）若是中的点列,使,是否为Cauchy列?为什么?证：(1)任意取定,对于任意的根据三角不等式,有,.对两端关于取下确界,可以得到,.即,.由此可得.由此容易证明是上的连续函数,
5、实际上,还满足Lipschitz常数等于1的Lipschitz条件.(2)答:未必是Cauchy列.例如取,其中的距离是Euclid距离.对于,对于,定义点列为对于点列,不难验证,;但显然不是Cauchy列.这里的原因就在于不是点到点之间的距离,而是点到集合的距离,当这个集合含有不止一个点时,不再具有点点之间距离的性质.补充题．证明是不可分空间.证：记,其中显然,且只要,,则有,且因为(不妨设)的测度为正,故.因此,由是不可数集,而的基数与的基数相同,故也是不可数集,且中任何两个不同元的距离均为1.如果是可分的,因此有一个可数的稠密子集合,且.但这是荒谬的,因为
6、上式左端只有可数多个开球,右端有不可数多个元,所以至少有中的两个不同的属于同一个开球,由此得到矛盾:此矛盾表明不可能是可分的.5．设是距离空间，是的闭子集，定义.试问:（1）若是否必有?（2）若均为的紧子集，且是否必有?为什么?解：(1)结论是未必.例如在中定义及.(试在平面直角坐标系中画出这两个集合的图形以加深理解)则虽然是互不相交的闭集,但是二者之间的距离为零：.(2)当若均为的紧子集，且时,必有.我们证明一个更为一般的结论:若为的紧子集而为闭集且时,.事实上,对于每一个,必有(为什么?试给出证明!).根据下确界的定义,我们知道,存在极小化序列使得,因为是紧
7、集,存在收敛子列收敛于中的某个元.因此有.令便可以得到即.进而,因此.14．记是复数列全体,在上按自然方式定义加法和数乘:,;对于任意,定义.试证:(1)();;(2);(3)();(4),().通常将定义在线性空间上满足(1)~(4)的函数称为上的准范数.证明:按照惯例,将中的元记为无穷维向量的形式,即,称为的第个分量或坐标.(1)对于,是显然的.进而,如果,则每一个为零,显然也有.反之,设,则,故每一个为零,因此.(2)设,.注意到连续函数对于是单调增加函数,因此.因此有.(3)对于,是显然的.(4)先设().对于任意的,存在自然数,使得.既然(),存在正整
8、数,使得当时,,因此成立
