2013届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练4 导数的简单应用及定积分

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1、训练4　导数的简单应用及定积分(时间：45分钟　满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·东北三校二模)已知函数f(x)＝ax2＋3x－2在点(2，f(2))处的切线斜率为7，则实数a的值为(　　)．A．－1B．1C．±1D．－22．(2012·济南二模)(x－sinx)dx等于(　　)．A.－1B.－1C.D.＋13．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是[来源:学+科+网Z+X+X+K](　　)．A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪(0,1]D．[－1,0)∪(0,1]4．(2012·广州一测)函数f(x)＝ex＋e－x(e为自然对数

2、的底数)在(0，＋∞)上(　　)．[来源:学科网ZXXK]A．有极大值B．有极小值C．是增函数D．是减函数5．(2012·金华十校模考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)．A．－13B．－15C．10D．15二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2012·厦门质检)已知函数f(x)＝xex，则f′(x)＝________；函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．7．设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为________．8．(2012·温州五校联

3、考)函数f(x)＝x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)(2011·重庆)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．10．(12分)已知函数f(x)＝lnx－.(1)当a＞0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值．11．(12分)已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.(

4、1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，

5、f(x1)－f(x2)

6、≥4

7、x1－x2

8、.参考答案训练4　导数的简单应用及定积分1．B　[因为f′(x)＝2ax＋3，所以由题意得2a×2＋3＝7，解得a＝1.故选B.]2．B　[(x－sinx)dx＝×2＋cos－cos0＝－1，故选B.]3．A　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f′(x)＝2x－＝，由f′(x)≤0，得0＜x≤1.]4．C　[依题意知，当x＞0时，f′(x)＝ex－e－x＞e0－e0＝0，因此f(x)在(0，＋∞)上是增函数，选C.]5．A　[求导得f′(x)＝－

9、3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.于是，f(m)＋f′(n)的最小值为－13.故选A.]6．解析　依题意得f′(x)＝1·ex＋x·ex＝(1＋x)ex；f′(0)＝(1＋0)e0＝1，f(0)＝0·e0＝0，

10、因此函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程是y－0＝x－0，即y＝x.答案　(1＋x)ex　y＝x7．解析　依题意得，f(x)dx＝x2dx＋dx＝＝.答案　8．解析　f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10＜0，f(x)极大值＝f(－1)＝＞0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.答案　39．解　(1)因f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，由已知f′(1)＝2a，因此3＋2a＋b

11、＝2a，解得b＝－3.又令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，由已知f′(2)＝－b，因此12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.因此f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.[来源:学科网ZXXK]又因为f′(1)＝2×＝－3，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.(2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，从而有g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x.令g′(x)＝0，得－3x2＋9x＝0，解得x1＝0，x