高三数学二轮复习必考问题专项突破4导数的简单应用及定积分理

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1、考必考问题4　导数的简单应用及定积分1．(2011·全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D．1答案：A　[y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点A，所以三角形面积S＝×1×＝，故选A.]2．(2012·广东)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析　曲

2、线方程为y＝x3－x＋3，则y′＝3x2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y′

3、x＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案　2x－y＋1＝03．(2012·陕西)设函数f(x)＝D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．解析　当x＞0时，求导得f′(x)＝，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线方程为y＝x－1，画图可知区域D为三角形，三个顶点的坐标分别为，(0

4、，－1)，(1,0)，平移直线x－2y＝0，可知在点(0，－1)处z取得最大值2.答案　24．(2012·江西)计算定积分－1(x2＋sinx)dx＝________.解析　－1(x2＋sinx)dx＝＝.答案　131．利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义．2．考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式．3．用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学思想方法．首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极

5、值、最值的方法步骤，对于已知函数单调性或单调区间，求参数的取值范围问题，一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用分离参数法求解.必备知识导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的

6、导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xn(n∈R)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝(2)导数的四则运算法则①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；13③′＝(v(x)≠0)．(3)复合函数求导复合函数

7、y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx′＝f′(u)g′(x)．利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数y＝f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；②若已知y＝f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．求可导函数极值的步骤(1)求f′(x)；(2)求f′(x)＝0的根；(3)判定根两侧导数的符号；(4)下结论．求函数f(

8、x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求f′(x)；(2)求f′(x)＝0的根(注意取舍)；(3)求出各极值及区间端点处的函数值；(4)比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．必备方法1．利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论．2．定积分在几何中的应用被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a＜b)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.(1)当f(x)＞0时，S＝f(x

9、)dx；(2)当f(x)＜0时，S＝－f(x)dx；(3)当x∈[a，c]时，f(x)＞0；当x∈[c，b]时，f(x)＜0，则S＝f(x)dx－f(x)dx.13常考查：①根据曲线方程，求其在某点处的切线方程；②根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数．可能出现在导数解答题的第一问，较基础．