二项式定理典型例题

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1、例1在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的得系数为：，由已知：，∴通项公式为为有理项，故是4的倍数，∴依次得到有理项为．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项．类似地，的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页，系数和为．例4（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中的常数项．解：（1）展开式中的可以看

2、成下列几种方式得到，然后合并同类项：用展开式中的常数项乘以展开式中的项，可以得到；用展开式中的一次项乘以展开式中的项可得到；用中的乘以展开式中的可得到；用中的项乘以展开式中的项可得到，合并同类项得项为：．（2）．由展开式的通项公式，可得展开式的常数项为．例5求展开式中的系数．分析：不是二项式，我们可以通过或把它看成二项式展开．解：方法一：其中含的项为．含项的系数为6．例6求证：（1）；（2）．分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．

3、解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质．解：（1）∴左边右边．（2）．∴左边右边．说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与的展开式接近，但要注意：从而可以得到：．典型例题七例7利用二项式定理证明：是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明是的倍数，

4、为了使问题向二项式定理贴近，变形，将其展开后各项含有，与的倍数联系起来．解：∵是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．典型例题八例8　展开．分析1：用二项式定理展开式．解法1：　分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．解法2：．说明：记准、记熟二项式的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．典型例题九例9　若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（　　）．A．11　　

5、　B．33　　　C．55　　　D．66分析：看作二项式展开．解：我们把看成，按二项式展开，共有“项”，即．这时，由于“和”中各项的指数各不相同，因此再将各个二项式展开，不同的乘积（）展开后，都不会出现同类项．下面，再分别考虑每一个乘积（）．其中每一个乘积展开后的项数由决定，而且各项中和的指数都不相同，也不会出现同类项．故原式展开后的总项数为，∴应选D．典型例题十例10　若的展开式的常数项为，求．分析：题中，当时，把三项式转化为；当时，同理．然后写出通项，令含的幂指数为零，进而解出．解：当时，其通项为，令，得，

6、∴展开式的常数项为；当时，，同理可得，展开式的常数项为．无论哪一种情况，常数项均为．令，以，逐个代入，得．典型例题十一例11　的展开式的第3项小于第4项，则的取值范围是______________．分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可．解：使有意义，必须；依题意，有，即．∴（∵）．解得．∴的取值范围是．∴应填：．典型例题十二例12　已知的展开式中有连续三项的系数之比为，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为，求的值．解：设连续三项是第、、项（且），则有，即．∴．∴，所求连

7、续三项为第、、三项．又由已知，．即．两边取以为底的对数，，，∴，或．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．典型例题十三例13　的展开式中第项与第项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．分析：根据已知条件可求出，再根据的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：，，依题意有．∴的展开式中，二项式系数最大的项为．设第项系数最大，则有．∴或（∵）．∴系娄最大的项为：，．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，

8、为奇数时中间两项的二项式系数最大，为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．典型例题十四例14　设()，若其展开式中关于的一次项的系数和为，问为何值时，含项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据已知条件得到的系数关于的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题．解：．．∵，