自考线性代数复习指导

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1、第一章　行列式　　一、重点　　1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。　　2、掌握：行列式的基本性质及推论。　　3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。　　二、难点　　行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。　　三、重要公式　　1、若A为n阶方阵，则│kA│=kn│A│　　2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。│B│　　3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1　　若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1　　4、若A为n阶方阵，λi（i=1，2，…

2、，n）是A的特征值，│A│＝∏λi　　四、题型及解题思路　　1、有关行列式概念与性质的命题　　2、行列式的计算（方法）　　1）利用定义　　2）按某行（列）展开使行列式降阶　　3）利用行列式的性质　　①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。　　②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。　　③逐次行（列）相加减，化简行列式。　　④把行列式拆成几个行列式的和差。　　4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式　　5）数学归纳法，多用于证明　　3、运用克莱姆法则求解线性方程组　

3、　若D=│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即　　x1=D1/D，x2=D2/D，…，xn=Dn/D　　其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。　　注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。　　4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题　　1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出。矩阵　一、重点　　1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三

4、角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）　　2、掌握：　　1）矩阵的各种运算及运算规律　　2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法　　3）矩阵的初等变换方法　　二、难点　　1、矩阵的求逆矩阵的初等变换　　2、初等变换与初等矩阵的关系　　三、重要公式及难点解析　　1、线性运算　　1）交换律一般不成立，即AB≠BA　　2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵　　（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2　　（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2　　（AB）k≠AkBk　　（A+B）（

5、A-B）≠A2-B2　　以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。　　3）由AB=0不能得出A=0或B=0　　4）由AB=AC不能得出B=C　　5）由A2=A不能得出A=I或A=0　　6）由A2=0不能得出A=0　　7）数乘矩阵与数乘行列式的区别　　2、逆矩阵　　1）（A–1）–1＝A　　2）（kA）–1=（1/k）A–1，（k≠0）　　3）（AB）–1=B–1A–1　　4）（A–1）T=（AT）–1　　5）│A–1│=│A│–1　　3、矩阵转置　　1）（AT）T＝A　　2）（kA）T=kAT，（k为任意实数）　　3）（AB

6、）T=BTAT　　4）（A+B）T=AT+BT　　4、伴随矩阵　　1）A*A＝AA*=│A│I（AB）*=B*A*　　2）（A*）*=│A│n-2│A*│=│A│n-1，（n≥2）　　3）（kA）*=kn-1A*（A*）T=（AT）*　　4）若r（A）=n，则r（A*）=n　　若r（A）=n-1，则r（A*）=1　　若r（A）　　5）若A可逆，则（A*）-1=（1/│A│）A，（A*）-1＝（A-1）*，A*＝│A│A-1　　5、初等变换（三种）　　1）对调二行（列）　　2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素　　3）把某行（列）的

7、元素的k倍加至另一行（列）的对应元素　　注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用　　②求逆阵，只能用行或列变换　　③求线性方程组的解，只能用行变换　　6、初等矩阵　　1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵　　2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换　　3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵　　E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）　　7、矩阵方程　　1）含有未知矩阵的等式　　2）矩阵方程有解的充要条件　　AX=B有解<==>B的每列可由A的列

8、向量线性表示　　<==>r（A）=r（A┆B）　　四、题型及解题思路　　1、有关矩阵的概念及性质的命题　　2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）　　3、矩阵可逆的判定　　n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B，有AB=B