中档题型训练（六）直角三角形的应用

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1、中档题型训练(六)　直角三角形的应用命题规律解直角三角形的应用是怀化市中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．命题预测预计2017年怀化中考，仍会考此知识点，以选择题、填空题的形式出现的可能性较大，也可能出现解答题.　仰角、俯角问题【例1】(2016广州中考)如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D.从A处看目标B，D的俯角分别是30°，60°，此时无

2、人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行30m到达A′处．(1)求A，B之间的距离；(2)求从A′处看目标D的俯角的正切值．【学生解答】解：(1)∵∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝60m，∴在Rt△ABC中，有AB＝＝＝120(m)．故A，B之间的距离为120m；(2)过点D作DE⊥A′A，交A′A的延长线于点E，连接A′D，∵∠DAC＝90°－60°＝30°，AC＝60m，∴在Rt△ADC中，有CD＝AC×tan∠DAC＝60×tan30°＝20(m)．∵∠AED＝∠EAC＝∠C＝90°，∴四边形ACDE是矩形．∵ED＝AC＝60m，EA＝CD＝20m，∴

3、在Rt△A′ED中，有tan∠EA′D＝＝＝＝.即从A′处看目标D的俯角的正切值为.1．(2016泸州中考)为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i＝1∶的斜坡DB前进30m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值)解：AC＝(60＋15)m.2．(2015达州中考)学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：(1)在中心广场测点C处安置测

4、倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°；(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C，D与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°；(3)测得测倾器的高度CF＝DG＝1.5m，并测得CD之间的距离为288m；已知红军亭高度EA为12m，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(取1.732，结果保留整数)解：设AH＝xm，在Rt△EHG中，∵∠EGH＝45°，∴GH＝EH＝AE＋AH＝x＋12，∵GF＝CD＝288m，∴HF＝GH＋GF＝x＋12＋288＝x＋300，在Rt△AHF中，∵∠AFH＝30°，∴A

5、H＝HF·tan∠AFH，即x＝(x＋300)·，解得x＝150(＋1)．∴AB＝AH＋BH≈409.8＋1.5≈411(m)．答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411m.　方位角问题【例2】一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/h的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)【学生解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.由题意得∠CA

6、D＝30°，∠CBD＝53°，AC＝80海里，∴CD＝40海里．在Rt△CBD中，sin53°＝，CB＝≈＝50(海里)．行驶时间为＝1.25(h)．答：海警船到达C处大约需1.25h.[来源:学科网]3．(2016宿迁中考)如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．(参考数据：≈1.73)[来源:Z+xx+k.Com]解：过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C.由题意知∠PAC＝30°，∠PBC＝4

7、5°.设PC＝x，在Rt△PBC中，BC＝x，在Rt△PCA中，AC＝x，8＋x＝x，x≈10.92.∵PC>10，∴不会触礁．　坡度、坡比问题【例3】(2015内江中考)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3m，台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC＝1∶)，且B，C，E三点在同一条直线上．请根