2017河北中考数学中档题型训练(六)直角三角形的应用中考数学模拟试题

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1、中档题型训练(六)　直角三角形的应用解直角三角形的应用是河北中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．　仰角、俯角问题【例1】(2016张家口二模)学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：(1)在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°；(2)

2、在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C，D与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°；(3)测得测倾器的高度CF＝DG＝1.5m，并测得CD之间的距离为288m；已知红军亭高度为12m，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(取1.732，结果保留整数)【思路分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造边角关系，进而可求出答案．【学生解答】解：设AH＝xm,在Rt△EHG中，∵∠EGH＝45°，∴GH＝EH＝AE＋AH＝(x＋12)m.易知GF＝

3、CD＝288m,∴HF＝GH＋GF＝x＋12＋288＝(x＋300)m.在Rt△AFH中，∵∠AFH＝30°，∴AH＝HF·tan∠AFH，即x＝(x＋300)·，解得x＝150(＋1)，∴AB＝AH＋BH≈409.8＋1.5＝411.3≈411(m).答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411m.1．(2016张家界中考)如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20m到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12m，求旗杆AB的

4、高度．(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，≈1.41)解：由题意得∠DBE＝∠BEC－∠BDE＝60°－30°＝30°＝∠BDE，∴BE＝DE＝20.在Rt△BEC中，BC＝BE·sin60°＝20×＝10≈17.3(m)，∴AB＝BC－AC＝17.3－12＝5.3(m)．答：旗杆的高度是5.3m.2．(2016随州中考)某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．

5、解：过点E作EF⊥AC于点F，EG⊥CD于点G,在Rt△DEG中，∵DE＝1620，∠D＝30°，∴EG＝DE·sin30°＝1620×＝810，又∵BC＝857.5，CF＝EG,∴BF＝BC－CF＝47.5,在Rt△BEF中，tan∠BEF＝＝tan30°，∴EF＝BF,在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，设AB＝x,∵tan∠AEF＝，∴AF＝EF·tan∠AEF,∴AF＝3BF，∴x＋47.5＝3×47.5,∴x＝95.答：雕像AB的高度为95尺．　方位角问题【例2】(2016石家庄二十八中二模)如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位

6、于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向(北偏西30°)以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．【思路分析】(1)先由题意求得∠BCO＝90°，解Rt△OBC，求得BC的长，从而求得时间；(2)过点C作CD⊥OA于点D.设相遇处为E，在Rt△CDE中，用勾股定理得v的方程，解得两个v值，分别求出OE

7、的长．【学生解答】解：(1)∵∠BOC＝90°－60°＝30°，∠CBO＝90°－30°＝60°，∴∠BCO＝90°，∴BC＝OB·cos60°＝120×＝60(km)，∴快艇从港口B到小岛C需要的时间为＝1(h)；(2)如图，过点C作CD⊥OA于点D，设相遇处为点E，则OC＝OB·cos30°＝60(km)．在Rt△CDO中．∵∠COD＝30°，∴CD＝OC＝30km，OD＝OC·cos30°＝90(km)．∵DE＝(90－3v)km，CE＝60km，∴CD2＋DE2＝CE2，即(30)2＋(90－3v)2＝602，解得v＝20或v＝40，∴当v＝20时，

8、OE＝3×20＝60(km)；当v＝40时，OE＝3