多元函数的连续性

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1、多元函数的连续性高盼20081115021数学科学学院数学与应用数学2008级汉班指导老师王瑞英摘要：连续性是多元函数的重要性质，包括一般连续，半连续，一致连续等。本文主要讨论了多元函数的半连续和一致连续性。关键词：多元函数；一致连续；半连续1.基本概念定义1.维欧式空间中任意两点.，它们之间的距离规定为。定义2.设定义在点集上的多元函数，.对，使得有，则称关于在连续。若是聚点，则关于在连续等价于.定义3设是定义在点集上的多元函数，的每个点都是它的聚点，若对，使得对于上任意两点,，当时，总有成立，则称在上一致连续。定

2、义4.是定义在维空间上的实函数，对如果，使得对，当时，恒有成立，则称在处是上半连续的。如果对使得对，当时，恒有成立，则称在点是下半连续的。2.多元函数的一般连续性多元函数的一般连续性与一元函数的连续性极其相似。定理1.（有界性与最大、最小值定理）若函数在有界闭域上连续，则在上有界且能取得最大值与最小值。定理2.（介值性定理）设函数在区域上连续，若,为中任意两点，且，则对任意满足不等式的实数，必存在点，使得。以上定理的证明在此就不一一赘述了。3.多元函数的半连续下面只就上半连续的情形给出几个性质，对于下半连续的情形根据

3、对偶关系也有相应的结论。定理1.设为维空间中的有界闭区域，如果在上上半连续，则在上有上界。证明：（反证法）假设在上无上界，于是对每一个自然数在上必存在一点，使得，,而是有界闭区域，故数列为有界数列，由聚点原理可知，有界数列必有收敛的子列，将的收敛子列记作，此时有.由知，由条件知，在点上半连续.令,,当且时,恒有.另一方面，由于,故对上述,，当时，.从而当时,恒有即对一切都成立，这个结论是不可能的，产生矛盾，假设不成立，定理得证。注：半连续函数的这条性质与连续函数的有界性相似，说明有界闭区域上的上（下）半连续在该闭区域

4、上有上（下）界。定理2.设为维空间中的有界闭区域，为闭区域上对而言的单调不增且有下界的上半连续函数列，则存在且在上上半连续。证明：因为对而言单调有界，所以有意义，若不是上半连续函数，则存在及收敛于的数列，使得，从而对于充分大的，有，又及上半连续，从而，即有，与在点上半连续矛盾，故在上上半连续。注：对连续函数，有界闭域上的连续单调有界函数列的极限函数不一定连续，但对半连续有界闭域上的上（下）半连续的单调有界函数列的极限函数仍然是上（下）半连续的。4.一致连续定理.设是定义在上的点集上的函数，则函数在区域上一致连续的充要

5、条件是，对任何点列,，只要就有。证明：必要性，设在上一致连续，则对，使得对于上任意两点与,有，对上述，由可知，当时,有，从而有这就证明了。充分性：（反证法）函数在上不一致连续，则，,.但取，于是存在，满足有。即，但不收敛于0，出现矛盾，定理得证。例题：设为维欧式空间，是的非空子集，定义到的距离为.证明：是上的一致连续函数。证明：,有,,对，使，,使,故对，取,当时，即是上的一致连续函数。5.几种连续的关系结论1.若函数在上的有界闭集上连续，则在上一致连续。证明：（反证法）假设函数在上的有界闭集上非一致连续，也就是说，

6、存在这样的，对于任何数，在有界闭集至少存在两点，虽然，但，现在取，那么在有界闭集上同时存在两点，虽然，但.又因为是有界闭集，点列,且，再由于，即因为，所以有另一方面，由于函数在点连续，也就是说由函数极限与数列极限的关系可得，,从而这与矛盾，故假设不成立，定理得证。结论2.一致连续函数必为连续函数。证明：设是一致连续的，则对，对于上任意两点,，当时，总有成立。现取定,再取,使得。令,,即.所以在连续。结论3.若函数在上连续，则在上是半连续的；既上半连续又下半连续的函数是连续函数。证明：，对，，,有。即时，有且即连续函数

7、既上半连续又下半连续。反之也成立。参考文献：[1]程其襄.张奠宙.魏国强等.实变函数与泛函分析基础.北京：高等教育出版社，2003[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）北京：高等教育出版社，2001[3]菲赫金戈尔茨.微积分学教程.人民教育出版社，1956