可化为一元二次方程的分式方程

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1、例1解方程.解：原方程就是去分母，得整理后，得解这个方程，得.经检验，是增根，是原方程的根.说明去分母前的排列，变号（如本题中的变为），去分母时分母为1的整式或常数漏乘最简公母以及去括号时符号是否改变，都是解方程中容易出错的地方，解题过程中都要认真对待.例2解方程解法一：原方程可化为设，则原方程化为，去分母，得，解这个方程，得.当时，，，∴此方程无实根.当时，.解这个方程，得经检验，都是原方程的根.解法二：去分母，整理，得或.方程的，无实数根.∴.经检验，都是原方程的根.说明从两种解法看到分式方程转

2、化为整式方程的两种途径.解法一用的是换元法，因为，设，经过换元使方程得到化简.解法二用的是去分母，其后在解的过程中也是一种换元的思想，是把看成一个整体，当成一个未知数，只是没有显现出换元，如果换元方法掌握较好，对于这样的题采用解法二是否更为简捷些.例3当a取何值时，方程去分母，得解这个方程，得∵方程的解为负数，∴，解得.，∴.即.∴∴当且时，方程的解为负数.说明分式方程的解必使是各分式的分母不等于零，在求适合某种条件的字母系数的值时，要特别注意这一点.例4某工厂计划生产480个零件，在实际生产中每小

3、时多做了10个，结果不仅提前1小时完成任务，而且还比原计划多生产了10个零件.求原计划每小时做多少个零件？预计用多少时间？分析设原计划每小时做x个零件，那么预计用的时间就是小时，实际每小时生产了个零件，共计生产了个，所以实际所用的时间是小时.根据“实际比原计划提前1小时完成”这个等量关系列方程.解：设原计划每小时做x个零件.根据题意，有.去分母，整理，得.解这个方程，得.经检验，都是原方程的根，但生产零件的个数不能为负数，所以只取.当时，.答：原计划每小时生产60个零件，预计用8小时完成任务.例5甲

4、、乙二人分别从相距27千米的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇.相遇后两人各用原来速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地早1小时21分.求两人的速度.分析本题中的主要等量关系是走完全程甲比乙少用1小时21分，可用等式表示.题目的前一句话中隐含了二人速度之间的关系，27千米的路程，二人用3小时相遇，就是说二人的速度和是每小时9千米，如果设甲每小时走x千米，那么乙每小时走（）千米.解：设甲每小时走x千米，那么乙每小时走（）千米.依题意，有.化简得去分母，整理，得解这个方程，得经检验，都是原方程的根，

5、但速度不能为负数，所以只取.当时，.答：甲每小时走5千米，乙每小时走4千米.说明本题也可以把题中的两句话看成两个等量关系，列方程组求解.即设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米.根据题意，有.方程组用代入消元法求解.典型例题六例若解分式方程产生增根，则的值是（）.分析解分式方程可能产生增根的原因是去分母时两边都乘以最简公分母——含未知数的整式.当这个整式的值为0时，就产生增根，所以解这类题目的方法是先去分母，将分式方程化为整式方程，再将所有可能的增根代入这个整式方程，求出的值.解原方程即是

6、去分母，得这个方程可能地增根是把代入整式方程，得解得；把代入整式方程，得解得故选D.典型例题七例已知x是实数，且，那么的值为（）A．1B．－3或1C．3D．－1或3误解设，则原方程可变为，即剖析时，即是，此时，方程无实数解，即x不是实数，与题设不符，应舍去；当时，即是，此时方程有实数解，即x是实数，符合题设，故正确答案：选A.说明此题由解分式方程演变而来，大大增加了成就机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃.还有一类题目由无理方程演变而来，如“已知x为实数，

7、且，则的值等于_________”.典型例题八例阅读理解题：关于的方程：的解是；（即）的解是；的解是；（即）的解是；的解是；……（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于的方程（）与它们的关系，猜想这个方程的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证.（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数.那么这样的方程可以直解.请你试用上述结论解关于的方程：.解：（1）.验证，当时，左边=∴是原方程

8、的解.当时，左边=右边∴是原方程的解.（2）原方程可化为.由以上结论可知：或.∴均为原方程的解.典型例题九例解分式方程：分析：由于本例中分子的次数不低于分母的次数，首先可将分式化为整式部分与真分式部分之和的形式，以简化运算.解，（这种变形要注意借鉴），，，原方程化为左右两边分别通分，并整理，得，，经检验，是原方程的根.说明：先化简再求解是本例的关键所在.把一个分子次数不低于分母次数的分式化为整式部分与真分式之和的一般方法是带余除法.典型例题十例解关于的方程：分析：利用