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时间:2017-11-09
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1、可化为一元二次方程的分式方程【学习目标】1.掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法,会用去分母或换元法求方程的解,并会验根.2.会列出可化为一元二次方程的分式方程解应用题.【主体知识归纳】1.找最简公分母,一般要把各分母分解因式,找出各分母的公因式和公倍式,确定最简公分母.2.用最简公分母乘方程两边时,不要漏乘任一项,特别是整数或整式项.3.解分式方程时,用各分式的最简公分母去乘方程的两边,约去分母,化为整式方程,这样得到的整式方程的解有时与原方程的解相同,但也有时与原方程的解不同,或者说产生了不适合原分式方程的解,因此
2、,解分式方程时必须要进行检验.【基础知识讲解】1.解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想是:把分式方程“转化”为整式方程.2.解分式方程的方法:(1)去分母法;(2)换元法.3.用去分母法解分式方程的具体步骤是:(1)把方程两边都乘以最简公分母,约去分母;(2)解所得的整式方程;(3)验根.4.用换元法解分式方程的具体步骤是:(1)观察、分析方程的特点,探索换元的途径;(2)设辅助未知数;(3)用辅助未知数的代数式表示原方程中另外含有未知数的式子,把原方程化为只含有辅助未知数的方程;(4)解含有辅助未知数的方程,求出辅
3、助未知数的值;(5)把辅助未知数的值代入原设辅助未知数的方程,求出原未知数的值;(6)验根,作答.5列可化为一元二次方程的分式方程解应用题的步骤是:(1)审清题意;(2)设未知数;(3)根据题意找相等关系,并列出分式方程;(4)解方程;(5)检验根是否是原分式方程的根;(6)检验所得的根是否符合实际问题的题意;(7)写出答案.【例题精讲】例1:解方程=2+.剖析:要先把方程的各个分式的分母能分解的都分解,以便找出最简公分母.解:原方程就是-=2.方程两边都乘以(1+x)(1-x),约去分母,得1+x-(3x-x2)=2(
4、1+x)(1-x).新课标第一网----免费课件、教案、试题下载整理后,得3x2-2x-1=0,解这个方程,得x1=1,x2=-.检验:把x=1代入(1+x)(1-x),它等于0,所以x=1是增根;把x=-代入(1+x)(1-x),它不等于0,所以x=-是原方程的根.∴原方程的根是x=-.说明:(1)为确定最简公分母,首先要将分式方程中能分解因式的分母进行分解因式.(2)方程两边都乘以(1+x)(1-x)时,整数2这一项一定不要漏乘,否则就错了.例2:解方程.剖析:去分母法是解分式方程的通用方法,但有些方程用此法时,解题
5、过程很繁,如本题会出现五次方程,通过观察、分析知,原方程可变形为.方程左右两边的两个分式中的与互为倒数,根据这一特点,可以用换元法来解.解:原方程可化为.设=y,那么=,于是原方程可变形为2y=5-.方程的两边都乘以y,约去分母,得2y2-5y+2=0.解这个方程,得y1=2,y2=.当y=2时,=2,去分母,整理,得2x2+3x+3=0.∵Δ=32-4×2×3=9-24<0,∴此方程没有实数根.当y=时,去分母,整理,得x2-3x=0,解得,x1=0,x2=3.检验:把x1=0,x2=3分别代入原方程的分母,各分母都不
6、等于0,所以它们都是原方程的根.∴原方程的根是x1=0,x2=3.说明:将根代入原方程的分母,各分母都不等于0,说明是原方程的根,这里有一个前提条件是:在解方程的过程中必须变形正确,计算无误如果不是这样,即使不是原方程的根,也可能使分母不等于0.因此,要认真解题,保证解得的根准确,这样验根才有意义.例3:电冰箱压缩机厂接受一批4800台的无氟压缩机的订单,为了提前2天完成任务,必须把生产效率提高.问提高效率后,每天应生产多少台无氟压缩机?解:设按原定天数,每天生产x台,那么提高效率后,每天生产(1+)x台.根据题意,得
7、-)=2.新课标第一网----免费课件、教案、试题下载方程两边同乘以x,得4800×-4800=2×x.整理,得8x=4800.解得x=600.经检验,x=600是所列方程的根并适合原题意.(1+)x=600×=800答:提高效率后,每天应生产800台无氟压缩机.例4:电冰箱压缩机厂接受一批4800台的无氟压缩机的订单,为了提前2天完成任务,需每天比原来多生产200台.原定每天生产多少台?解:设原定每天生产x台.根据题意,得=2.方程两边同乘以x(x+200),得4800(x+200)-4800x=2x(x+200),整
8、理,得x2+200x-480000=0,解得x1=600,x2=-800经检验,x=600和x=-800都是所列分式方程的根,但x=-800不合题意,舍去.答:原定每天生产600台.说明:例3、例4为同一事情所编出的两道应用题,仅已知条件有一点差别.若要提前完成订单任务,需每天比原来多生产才行.例3已知比原来提高效率
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