高三高考复习数学专题学案《立体几何初步》——《空间的角》

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1、第8课时空间的角基础过关1．两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a'a，b'b，把直线a'和b'所成的或叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是．2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的所成的角，叫做这条斜线和平面所成的角．规定：①一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是角；②一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是角．其范围是．公式：cosθ＝cosθ1cosθ2，其中，θ1是，θ2是，θ是．3．二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角．PBEFDCA4．二面角的平面角：以二面角的棱上一点为端点，在两个面内分

2、别作棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是．典型例题例1.如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求EF与平面PAD所成角的大小；A1B1D1C1DABC（2）求EF与CD所成角的大小；（3）若∠PDA＝45°，求：二面角F—AB—D的大小．解：(1)易知EF∥平面PAD，故EF与平面PAD成角为0°；(2)易知EF⊥CD，故EF与CD成角为90°；(3)取AC中点为0，则∠FEO为所求二面角的平面角，易求得∠FEO＝45°．变式训练1：如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，若二面角C

3、1—BD—C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成的角的大小．答案：arccos例2.在等腰梯形ABCD中，AB＝D＝12，它的高为2，以底边的中垂线MN为折痕，将梯形MBCN折至MB1C1N位置，使折叠后的图形成1二面角，求：CDABB1MNC1⑴AC1的长；⑵AC1与MN所成的角；⑶AC1与平面ADMN所成的角．答案：(1)16(2)arcsin(3)arcsinABOCDS变式训练2：已知四边形ABCD内接于半径为R的⊙O，AC为⊙O的直径，点S为平面ABCD外一点，且SA⊥平面ABCD，若∠DAC＝∠ACB＝∠SCA＝30°，求：⑴二面角S－CB－A的大小

4、；⑵直线SC与AB所成角的大小．答案：(1)arctan(2)arccos例3.△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝1求：⑴AD与平面DBC所成的角；ABDC⑵二面角A－BD－C的正切值．解：(1)作AE⊥BC交BC的延长线于E，由面ABC⊥面BCD知AE⊥向BCD，∠ADE即为所求，求得∠ADE＝45°(2)作EF⊥BO于F，∠AFE即为所求，求得tan∠AFE＝2变式训练3：正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC中点．BB1AECC1A1⑴求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；⑵求证：AB1∥平面BEC1；⑶若，求二面角E

5、－BC1－C的大小．答案：(1)略(2)略(3)45°例4:已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AA1＝2AB，M为CC1上的点.(1)当M在C1C上的什么位置时，B1M与平面AA1C1C所成的角为30°；(2)在(1)的条件下，求AM与A1B所成的角.ACMA1B1C1B解(1)取A1C1的中点N1，连结B1N1，N1M，由已知易知B1N1⊥平面A1C1CA.∴∠B1MN1为B1M与平面A1C1CA所成的角，设C1M＝x，B1N1＝a.sin

6、os变式训练4：已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二AEFBCD面角A—DE—C的大小为，若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的余弦值．解：点A在平面BCDE内的射影在直线EF上，过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，连结GC、GD．∵△ACD为正三角形，∴AC＝AD，∴GC＝GD，∴G在CD的垂直平分线上，又∵EF是CD的垂直平分线，∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE．∴∠AHG是二面角A—DE—C

7、的平面角，即∠AHG＝，设原正方形ABCD的边长为2a，由直角三角形的射影定理，可得AH＝，GH＝，∴．小结归纳1．两异面直线所成角的作法：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线；②补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是容易作出两条异面直线所成的角．2．作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影．3．平面角的作法：①定义法；②三垂线法；③垂面法．4．二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小，也可考虑利用射影面积公式S'＝Sc