高考一轮复习专题：导数及其应用

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1、导数及其应用考点一：导数概念与运算（一）知识清单1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’

2、。即f（x）==。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在

3、点x处的导数的步骤：（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f’(x)=。2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。3．几种常见函数的导数:①②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.224．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(法则2：两个函数的积的导数,等于第一

4、个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇

5、=y＇

6、·u＇

7、（二）典型例题分析题型一：导数的概念及其运算例1.如果质点A按规律运动，则在t=3s时的瞬时速度为（）A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s变式：定义在D上的函数，如果满足：，常数，都有≤M成立，则称

8、是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.【文】（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.【理】（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.22例1.已知的值是（）A.B.2C.D.－2变式1：（）A．－１Ｂ．－2C．－3D．1变式2：（）A．B．C．D．例2.求所给函数的导数：变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（）A．(－3,0)∪

9、(3,+∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞,－3)∪(3,+∞)D．(－∞,－3)∪(0,3)题型二：导数的几何意义①已知切点，求曲线的切线方程；注：此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．例3.曲线在点处的切线方程为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．22①已知斜率，求曲线的切线方程；注：此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例1.与直线的平行的抛物线的切线方程是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．②已知过曲线外一点，求切线方程；此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例2.求过点且与曲线相切的直线方程．变式1、已知函数的图

10、象在点处的切线方程是，则。变式2、22考点二：导数应用（一）知识清单1．单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3．最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其

11、中最小的是最小值。4．定积分（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

12、m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；22＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）。（2）定