大学物理中矢量微积分的计算

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1、大学物理中矢量微积分的计算【摘要】矢量微积分贯穿于大学物理的多个章节，是大学物理的重点和难点之一。本文就矢量微积分的求解简单进行了归纳，以帮助初学者提高应用大学物理解决实际问题的理解和能力。【关键词】矢量微积分;大学物理;求解CalculationofVectorCalculusinUniversityPhysicsLIUYangYANGSongLUGang（BasicTeachingDepartmentofSUT，LiaoyangLiaoning111003，China）【Abstract】Vectorcalculusthroughoutthecolleg

2、ephysicsofseveralchapters，itisimportantanddifficult.inthispaper，methodforsolvingvectorcalculuswassummarized，thepurposeistohelpbeginnerstoimprovetheabilitytosolvepracticalproblemsofappliedphysics.【Keywords】Vectorcalculus;Universityphysics;Solving0前言6大学物理与中学物理相比，最显著的区别就应用矢量、导数和微积分来分析

3、和求解生活实践中更一般的实际问题，微积分思想和方法的运用，使大学物理相比于中学物理有质的飞跃。相对于高等数学只注重代数形式的导数和微积分性质和计算，大学物理中几乎全是矢量的导数和微积分模型的建立和求解[1]，如果没有掌握矢量的导数和微积分的处理方法，对于解物理问题，往往会觉得无从下手。本文就大学物理中矢量的导数和微积分的求解问题提出自己的一点见解，以期对初学者有所帮助。1矢量和微积分思想矢量是既有大小又有方向的量。大学物理中很多物理量都是用矢量的乘法来表示，这就涉及矢量的点积与叉积，如功W=■・■=Frcosθ结果为标量，力矩■=■×■结果为矢量，其中θ为两

4、矢量之间的夹角。与中学物理研究的大都是“常量”、“标量”，用代数和平面几何去解决生活实践中某个特殊类型的问题不同，大学物理中的研究的大都是“变量”、矢量”，用矢量和微积分来解决生活实践中更一般的实际问题。6对于一般物理实际问题，常常需要应用微积分来解决，其基本思想是先“微”后“积”。由于物理量对时间或者空间分布不均，因而需要把研究物理量在时间或者空间范围内进行无限次分割，分割后的物理量在这些足够小的时空区域（即微元区域）就变成了均匀分布，这时恰当的选取微元，写出元过程或者元贡献的表达式，然后把所有有限小的过程累加求和[2]，再应用定积分，确定积分上、下限，然

5、后求得计算结果。大学物理中的矢量求解，不管是微分还是积分，首先要将矢量标量化运算，也就是说先要把矢量向某一方向或者坐标系进行投影，然后再进行微积分运算。大体可以归纳为两类，一类是矢量的微分或求导问题，一类是矢量的积分问题。2矢量的求导问题这类问题在大学物理中比较简单，一般就是先把矢量在坐标系进行投影，然后再在各个分量方向上求导。例如由位矢■（t）求速度■（t）和加速度■（t），则先对■（t）“矢量标量化运算”，即把■（t）向直接坐标系进行x，y，z方向进行投影，即有■（t）=x（t）■+y（t）■+z（t）■，然后在个方向上进行求导，如■（t）=■=■■+■

6、■+■■，同样的，求加速度也是先投影后求导，■（t）=■=■■+■■+■■=■■+■■+■■。3矢量积分的计算方法和步骤由于物理量对时间或者空间分布不均，矢量的积分运算包括：（1）矢量与标量微元的积分，如冲量■=■■dt的计算，把矢量在直角坐标系下正交分解后积分有：■=■■dt=■■■dt■+■■■dt■+■■■dt■;（2）矢量的点积积分运算，如功的计算W=■dw=■■・6d■=■Fcosθdr，其中θ为矢量■和■的夹角，在直角坐标系下正交分解，点积后再进行积分运算有：W=■■・d■=■■■dx+■■■dy+■■■dtz;（3）矢量的叉积积分运算，如电流元

7、在磁场中的受到的安培力为：■=■d■=■Id■×■=■IBsinθdl，θ为矢量d■和■的夹角，直角坐标系下正交分解，叉积后进行积分运算[3]有：■=■Id■×■=I■（B■dy-IB■dz）■+I■（B■dz-IB■dx）■+I■（B■dx-IB■dy）■=I■■（4）矢量的混合积分运算，如动生电动势ε=■dε=■（■×■）・d■=■vBsinαcosβdl的计算，其中α为矢量■和■的夹角，β为（■×■）和d■的夹角，直角坐标系下表示为ε=■（■×■）・d■=■矢量的积分的解题步骤：（1）选取积分微元。根据问题性质，选择恰当的坐标系，然后选取积分微元（时间

8、微元dt，空间微元d■，质量微元dm，电荷微元dq，