数理统计课后习题答案 刘韶跃 彭向阳

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1、习题二P441.设总体X的概率分布密度为：其中未知，为其样本，求：（1）的联合分布密度；（2），，解：由题意知总体X的概率分布密度为：期望(1)样本相互独立，且与总体X服从相同分布，即的概率密度为：（2）注：这里补充一个更一般的结果：设总体X的数学期望与方差都存在，且。从总体X中抽取样本，证明：（1）样本均值的数学期望，方差；（2）样本方差的数学期望简证：（1）（2）1.设总体X服从泊松分布为其样本，求其样本均值的概率分布、数学期望，方差。解：（1）已知总体因为样本与总体服从相同的分布，所以有又因为样本相互独立，我们有结论：用归纳

2、法证明：（ⅰ）当,结论显然成立；（ⅱ）假设当时结论成立，即：，记。我们来求的分布，因为与相互独立，所以相互独立，进而有：，即：时结论亦成立；有归纳法知结论成立。由结论知：。由此得的概率分布如下：（2）所以3.设随机变量X服从自由度为的分布，求函数的分布。解：已知，我们把随机变量写成，并设随机变量与独立，且，则按分布的定义知。因为，则按分布的定义知；因为与独立，所以与也独立；则按分布的定义知：4.设总体为其样本，记，，求证：证明：已知总体所以因为所以由此得到标准化的统计量又由定理2.3.1（3）知，统计量因为与是独立的，所以统计量与

3、也是独立的。于是，按t分布的定义可知，统计量注：更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态变量的线性组合仍然服从正态分布。定理：设随机变量相互独立，并且都服从正态分布：则它们的线性组合也服从正态分布，且有；6.设总体从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于5的概率。解：由题意知总体；由定理3.1（1）知；所以7.设总体从中抽取一个容量为10的样本，其样本方差为，且，求的值。解：由题意知总体；由定理3.1（3）知，所以查表知：。所以。8.设总体从总体X中抽取一个容量为25的样本，求样本均值小于12.5

4、的概率，如果（1）已知；（2）已知未知，但样本方差。解：由题意知总体（1）已知，由定理3.1（1）知；所以（2）已知由定理3.1（4）知；所以9．设总体从总体X中抽取一个容量为25的样本，和分别为其样本均值和样本方差，求。解：由题意知总体由定理3.1（1）、（3）知，，所以因为和相互独立，所以10.设总体总体从正态总体X中抽取容量为的样本，其样本均值为，样本方差为；从正态总体Y中抽取容量为的样本，其样本均值为，样本方差为.(1)求(2)若已知解：由题意知总体(1)由定理3.2（1）知统计量，所以有(2)由定理3.2（2）知统计量所

5、以习题3P691.证明：二阶样本中心矩不是总体方差的无偏估计。证明：已知；不失一般性我们假设总体为，为其样本，它们相互独立，且与总体服从相同的分布，所以有计算：所以进而有即：二阶样本中心矩不是总体方差的无偏估计2.设为的两个独立的无偏估计，且，求常数，使得为此种线性组合中有最小方差的无偏估计。解：已知为的两个独立的无偏估计，即：。(ⅰ)是的无偏估计，即：而，所以有①(ⅱ)的方差最小，因为且，所以取最小值取最小值取最小值（结合①式），即：当时为此种线性组合中有最小方差的无偏估计3.设总体的概率分布密度为其中未知，为其样本。试证为的无

6、偏估计。证明：已知总体的概率分布密度为则分布函数因为样本相互独立且与总体服从相同的分布，所以令，则的分布函数为：所以的概率分布密度为：为的无偏估计。4.设总体服从的均匀分布，为其样本。令，求使得为的无偏估计。解：已知总体，则的分布函数为：的概率分布密度为：因为样本相互独立且与总体服从相同的分布，所以令，则的分布函数为：所以的概率分布密度为：。欲使为的无偏估计，则①而②又①、②得：。5.设总体服从几何分布，其分布律为，样本为，求的矩法估计及极大似然估计。解：（1）已知总体服从几何分布，其分布律为，所以为了求级数的和，可以利用已知的幂

7、级数展开式：按幂级数逐项微分性质可得：由此可得：所以由，即：得的矩法估计：。（2）似然函数为两边取自然对数，得：两边对求导，并令导数等于0得：解上述方程，得的极大似然估计：。6．设总体的概率分布为：0123其中为未知参数，利用总体的如下样本值求的矩法估计值和极大似然估计值。解：（1）由已知易得：所以由，即：得的矩法估计：。（2）似然函数为两边取自然对数，得：两边对求导，并令导数等于0得：解上述方程，得：所以的极大似然估计。7.设总体的概率分布密度为：其中为未知常数。求的矩法估计和极大似然估计。解：已知总体的概率分布密度为：（1）计

8、算所以由，即：得的矩法估计：（2）似然函数为两边取自然对数，得：两边对求导，并令导数等于0得：解上述方程，得：的极大似然估计。8.设总体X服从的均匀分布，样本为，求参数的极大似然估计。解：X的概率分布密度为：所以，当时，似然函数为，否则。故要使得似