数理统计教程课后重要答案习题

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1、.第一章:统计量及其分布19.设母体服从正态分布N和分别为子样均值和子样方差,又设且与独立,试求统计量的抽样分布.解:因为服从分布.所以而且与独立,,所以分布.即服从分布.20.是取自二元正态分布N的子样,设,和试求统计量的分布.解:由于.所以服从分布.......是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证与相互独立.,所以统计量服从分布.第二章：估计量1.设是来自二点分布的一个子样,试求成功概率的矩法估计量.解:3.对容量为的子样,求密度函数中参数的矩法估计3.对容量为的子样,求密度函数中参数的矩法估计量.解:令得.4.在密度函数中参数的极大似然估计量是什么?矩法估计量是什么?解:(1

2、)令，得。......由于故是极大似然估计.(2)由令得14.设为取自参数为的普哇松分布的一个子样.试证子样平均和都是的无偏估计.并且对任一值也是的无偏估计.证:对普哇松分布有,从而故与都是的无偏估计.又故也是的无偏估计.15.设为取自正态母体的一个子样,试适当选择,使为的无偏估计.解:由且相互独立可知,从而.取时,为的无偏估计.......17.设随机变量服从二项分布,n试求无偏估计量.解:由于故从而当抽得容量为N的一个子样后,的无偏估计为:量.解:令得.34.设是取自正态母体的一个子样,其中为已知,证明(i)是的有效估计;(ii)是的无偏估计,并求其有效率.证由知,,又的密度函数为,

3、故对求导得：从而，故下界为。是的有效估计..由于......故，即是的无偏估计.又而故C—R下界为，的有效率为。30.设是取自具有下列指数分布的一个子样.证明是的无偏、一致、有效估计。证:由于是的无偏估计.又，故从而，而故下界为因此是的有效估计.另外,由契比可夫不等式所以还是的一致估计.32.设是独立同分布随机变量,都服从，则是的充分统计量.证:由于的联合密度为......取,则由因子分解定理知,是的充分统计量.33.设是独立同分布随机变量,都服从具参数为的普哇松分布,则是关于的充分统计量.证:由于的联合密度是取,,则由因子分解定理知:是充分统计量.第三章：假设检验1设取自正态母体其中为

4、未知参数,为子样均值，对检验问题取检验的拒绝域:,试决定常数c使检验的显著性水平为0.05.解:因为所以在成立下,,所以C=1.176.2．设子样取自正态母体已知，对检验假设的问题，取临界域.（i）求此检验犯第一类错误的概率,犯第二类错误的概率,并讨论它们之间的关系.（ii）设,求时不犯第二类错误的概率.解:(i).在成立下,,......其中是N（0，1）分布的分位点。在H1成立下,,=当增加时，减少，从而减少；反之当减少时，将导致增加。（ii）不犯第二类错误的概率为1-。=4，设某产品指标服从正态分布，它的根方差已知为150小时，今由一批产品中随机地抽查了26个，测得指标的平均值为1

5、637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为这批产品的指标为1600小时？解：母体，对假设采用U—检验法，在H0为真下，检验统计量观察值为时临界值。由于，所以接受，即不能否定这批产品指标为1600小时5某电器零件的平均电阻一直保持在2.64均方差保持在0.06.改变加工工艺后测的100个零件,其平均电阻为2.62,均方差不变.问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?取显著性水平。解：设改变工艺后，电器零件电阻为随机变量，则未知，。检验假设。从母体中取了容量为100子样，近似服从正态分布，即：。......因而对假设可采用u—检验计算检验统计量观察值，。由于。所以拒绝原假设即改革工艺后零件的电

6、阻一有显著差异。6.有一种新安眠剂,据说在一定剂量下能比某种就旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时,根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时,均方差为1.8小时,为了检验新安眠剂的这种说法是否正确,收集到一种使用新安眠剂的睡眠时间(以小时为单位)为:26.7,22.0,24.1,21.0,27.2,25.0,23.4试问这组数据能否说明新安眠剂已达到新的疗效?()解：设新安眠剂疗效为随机变量，则未知，。检验假设，从母体中取了容量为7子样，近似服从正态分布，即：。因而对假设可采用u—检验计算检验统计量观察值，。由于。所以接收原假设，即新安眠剂未达到新的疗效。15．设X1,X2,---,

7、Xn为取自总体X~的简单随机样本，其中0为已知常数，选择统计量U=，求的1-的置信区间。解：由于U=服从(n)，于是......故的1-的置信区间。16．在某校的一个班体检记录中，随意抄录25名男生的身高数据，测得平均高为170厘米，（修正）标准差为12厘米，试求该班男生的平均身高和身高标准差的0.95置信区间（假设身高近似服从正态分布）。解：由题设身高X~N（），n=25，。（1）先求的置信区间（未知）取故置信区间为：(170)=