转折角处巧添辅助平行线举例

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1、平行问题，平行线来帮忙在解决有关平行问题的时候，有时需要添加必要的辅助线，而添加平行线作为辅助线，更是解决此类问题好的帮手.例1　如图1所示，直线a∥b，求∠A的大小.分析　要求∠A的大小，只有直线a∥b和现有角度的大小不能解决问题.于是想到过点A作AD∥b，这样利用平行线的知识即可求解.解　过点A作AD∥b，则∠DAC＝∠ACF＝50°.又因为a∥b，所以AD∥a，所以∠DAB＝∠ABE＝28°.所以∠BAC＝∠DAC－∠DAB＝50°－28°＝22°，即∠A的大小是22°.例2　如图2，AB∥CD，EO与FO相交于点O，试猜想∠BEO、∠EOF、

2、∠DFO之间的关系，并说明理由.分析　由于∠BEO、∠EOF、∠DFO三个角的位置较散，设法通过辅助线使之相对集中，考虑AB∥CD，可以过点O作MN∥AB，这样即可找到三个角之间的关系了.由此猜想∠BEO+∠DFO＝∠EOF.解　过点O作MN∥AB.因为AB∥CD，所以CD∥MN，所以∠BEO＝∠EOM，∠MOF＝∠DFO，从而有∠BEO+∠DFO＝∠EOF.图1DEF图2NMFEODCBA图3例3　如图3，已知AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D.试探索β与2α的数量关系，并说明你的理由.　　分析　由已知条件AB∥ED可知α＝∠A+∠E

3、＝180°，于是只需知道β＝∠B+∠C+∠D的大小即可探索出β与2α的数量关系.此时可以过点过C作CF∥AB，从而求出β＝∠B+∠C+∠D＝360°，即有β＝2α.解　猜想β＝2α.理由是：过C作CF∥AB，所以∠α＝∠A+∠E＝180°.-7-又因为AB∥ED，所以CF∥DE，即(∠B+∠1)+(∠2+∠D)＝360°，故β＝2α.例3　如图4，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、

4、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？E图6CDl2Pl3l1ABE图5CDl2Pl3l1AB图4l1lCBDPl2AE分析　若P点在C、D之间运动时，形同例2，只要过点P作出l1的平行线即可知道∠APB＝∠PAC+∠PBD；若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则可以分为如图,5和如图6两种情形，同样分别过点P作出l1或l2的平行线，即有∠APB＝∠PBD－∠PAC或∠APB＝∠PAC－∠PBD.解　若P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由是：如图4，过点P作PE∥l1，则∠AP

5、E＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：（1）如图5，有结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APB＝∠BAE+∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.（2）如图6，有结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD，又因为l1

6、∥l2，所以PE∥l1，所以∠APE＝∠PAC，所以∠APB＝∠APE+∠BPE，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.-7-转折角处巧添辅助线学习了平行线的知识后，我们知道平行线有三条性质，当两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。因此，在求解有关平行线中角的问题时，我们可以在转折点处添加辅助线------平行线，从而构造出特殊位置关系的角，为解题架桥铺路。下面举例加以说明。例1.（2008黑龙江）如图AB//CD,则的度数为解析：由图形可以看出，在两条平行线AB,CD之间的E点处出现了一个转折角，即，因此我们可以过点E作EF//AB,，由条

7、件AB//CD,可知AB//EF//CD所以所以又因为CD//EF,从而例2.（2008沈阳）如图，己知AB//DE,，则___.解析：由图形可以看出，C点处出现了一个转折角，因此我们可以过点C作CF//AB,由此可知所以例3.（2008广安）如图，AB//CD,若则度解析：题中出现转折角，即，可过点E作与AB,CD平行的直线FG,则所以-7-故答案为例4.（第三届中学生智能通讯赛初一赛题）如图试探索之间具备什么关系时，AB//CD,并说明理由。解析：观察图形可以猜想时,AB//CD。理由如下：在E点出现了转折角，可以过点E作EF//AB,则所以EF

8、//CD又因为EF//AB，所以AB//CD-7-诱发一题多解培养创新思维有些题目，如果从不同的角度去分析，