第三章 晶格振动与晶体热学性质

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1、第三章晶格振动与晶体热学性质3.1一维原子链的晶格振动3.1.1一维简单晶格在平衡位置时，两个原子间的互作用势能是U(a),令δ=xn+1-xn,则产生相对位移后，相互作用势能变为U(a+δ)在平衡位置附近用泰勒级数展开，得到：式中首项为常数，次项为零。当δ很小，即振动很微弱时，势能展开式中可只保留到δ2项，则恢复力为这叫做简谐近似，上式中的β称为恢复力常数，如果只考虑相邻原子的互作用，则第n个原子的运动方程可写成对于每一个原子，都有一个类似的运动方程，因此方程的数目和原子数相同。设方程组的解为式中qna表示第n原子振动的

2、位相因子，如果第n’个和第n个原子的位相因子之差(qn’a-qna)为2π的整数倍时，由此可见晶格中各原子的振动间存在固定的位相关系，也即在晶格中存在着角频率为ω的平面波，这种波称为格波(如图所示)。将格波方程代入运动方程组可得，亦即该式代表一维简单晶格中格波的色散关系，图为ω~q关系，即是一维简单晶格的振动频谱，其中取qa介于(-π，π)之间。3.1.2一维复式格子考虑由两种不同原子构成的一维复式格子，相邻同种原子的距离为2a(复式格子的晶格常数)，原子质量分别为M和m(M＞m)。类似一维简单格子，可得：该方程组的解也可

3、以是角频率为ω的简谐振动：把解代入运动方程，得上式可改写为若A、B有异于零的解，则其系数行列式必须等于零，即由此可以解得由上式可见，ω与q之间存在着两种不同的色散关系，即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波，这两种不同的格波各有自己的色散关系。为了保证xn的单值性，把q值限制在，则2qa介于(-π，π)，所以ω1的最大值为而ω2的最小值为因为(M＞m)，从而ω2的最小值比ω1的最大值还要大。换句话说，ω1支的格波频率总比ω2支的频率低，实际上，ω2支的格波可以用光来激发，所以常称为光频支格波，简称光学波，而ω1支的格波则

4、称为声频支格波，简称为声学波。3.1.3声学波和光学波经过讨论简化，近似可以得到：综合以上结果，可得：（1）声学波的频率ω1最大值为，最小值为0；（2）光学波的频率ω2最大值为，最小值为。其色散关系如图再看相邻两种原子振幅之比，(1)对于声学波，也就是说，相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负号，即对于声学波，相邻原子都是沿着同一方向振动，当波长很长时，声学波实际上代表原胞质心的振动。(2)对于光学波，也就是说，相邻两种不同原子的振动方向是相反的，对于长光学波，原胞的质心保持不动。光学波是代表原胞中两个原子的相对振动。声

5、学波光学波3.1.4周期性边界条件(玻恩-卡门边界条件)设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第tN+j个原子的运动情况一样，其中t=1,2,3,…。对于晶格，可以有这样的结论：晶格振动波矢的数目=晶体原胞数晶格振动频率的数目=晶体的自由度数一维有限布喇菲格子(含N个原胞，每个原胞一个原子)一维有限复式格子(含N个原胞，每个原胞有两个不同原子)3.2晶格振动的量子化声子理论考虑：(1)晶体中原子的集体振动-----格波，可展开成简谐平面波的线性

6、迭加。(2)对微弱振动(简谐近似)，每个格波就是一个简谐波，格波之间的相互作用可忽略，形成独立格波模式。(3)在玻恩-卡门周期性边界条件下，得到分立的独立格波模式，可用独立简谐振子来表述。晶格振动中的简谐振子的能量量子---声子。数学处理：晶格振动总能量(哈密顿量)=动能+势能(化成)=独立简谐振子能量之和3.3长波近似在§2.8中,晶体被看作连续介质,从经典力学的角度推出了晶格振动的弹性波方程。在§3.1中,我们从晶体中每个原子在其平衡位置附近振动的观点(不再是连续介质),推出晶格振动的声学波和光学波。本节讨论q→0、λ

7、→∞，即长声学波和长光学波的情况，并和连续介质结果作比较。3.3.1长声学波当波长很长，即q很小时，长声学波的角频率ω1与波矢q的关系可以简化成：而长声学波的波速νp可表示成：式中是晶体的恢复力常数。由此可以得到，长声学波的角频率与波矢存在线性关系，它的波速为一常数。长声学波的这些特性与晶体中的弹性波完全一致，因此晶格可以近似地看成连续介质，而长声学波也就可以近似地被认为是弹性波。原子振动观点：声学波连续介质观点：弹性波结论：对于长声学波，晶格可以看作连续介质，即长声学波和弹性波完全一样。3.3.2长光学波对于光学波，相邻

8、的不同离子振动方向相反，当波长比原胞的线度大得多，相邻的同一种离子的位移将趋于相同；这样，在半波长的范围内，正离子所组成的一些布喇菲原胞同向地位移，而负离子所组成的另一些布喇菲原胞反向位移，使晶体中出现宏观的极化，所以长光学波又称为极化波。极化方程：用μ+代表质量为M的正离子位移，用μ-代表质量为m的正