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时间:2018-07-09
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1、第三章晶体热振动与晶体的热学性质3.1一维单原子链 3.1.1一维原子间相互作用势 图3-1-1一维单原子晶格 考虑由N个相同的原子组成的一维晶格,如图3-1-1所示,相邻原子间的平衡距离为a,第j原子的平衡位置用x0j来表示,它偏离平衡位置的位移用uj来表示,第j原子的瞬时位置就可以表示为: (3-1-1)原子间的相互作用势能设为,如果只考虑晶体中原子间的二体相互作用,则晶体总的相互作用能可表示为: (3-1-2) 式中是i、j原子的相对距离,是i,j两原子的相对位移,
2、在温度不太高时,原子在平衡位置附近作微振动,相邻原子的相对位移要比其平衡距离小得多,可将展开为: (3-1-3)于是有: (3-1-4)式中第一项是所有原子处于平衡位置上时的总相互作用能,用U0来表示,是U的极小值, (3-1-5)第二项是的线性项,它的系数为:,是所有其它原子作用在i原子的合力的负值,当所有原子处在平衡位置上时,晶体中任一原子所受到的净作用力应为零,所以在式(3-1-4)中不存在位移的线性项。因此, (3-1-6)式中:
3、 (3-1-7)称为力常数。.3.1.2简谐近似下运动方程 若在U的展开式中,忽略u的高次项而仅保留到u的平方项,即有 (3-1-8) 这种近似称为简谐近似。由此可以得出第n原子的运动方程式为: (3-1-9) 式中m为原子的质量,如果只考虑最近邻的相互作用,在上式中只保留i=n+1和i=n-1两项,且令,则可得到形式上很简单的运动方程式: (3-1-10) 3.1.3周期性边界条件 对于无限大的晶体,每个原子都有形如式
4、(3-1-10)的运动方程,但实际上晶体是有限大的,处在表面上(对一维晶格来说是两端上)的原子所受到的作用与内部原子不同,其运动方程式应有不同,使问题变复杂。为解决这一问题,需要引入边界条件,常用的边界条件是所谓的周期性边界条件,是玻恩-卡曼提出的,又称为玻恩-卡曼边界条件。 设想在有限晶体之外还有无穷多个完全相同的晶体,互相平行堆积充满整个空间,在各相同的晶体块内的原子的运动情况应当是相同的,对于一维晶格,这个条件表示为: (3-1-11) 这相当于一维原子链首尾相接形成一个环状晶格(如图3-
5、1-2所示),这时每个原子都是等价的,都满足形式相同的运动方程。这样做虽然没有考虑表面原子的特殊性,但由于实际晶体中原子数目N很大,表面原子数目所占比例很小,不会对晶体的整体性质产生明显地影响。图3-1-2玻恩-卡曼边界条件3.1.4格波 运动方程式(3-1-10)是很容易还应解的。 设试探解为 (3-1-12) 式中A为振幅,ω为圆频率,q为波矢,与波长λ的关系为:q=2π/λ,naq为第n个原子振动的位相,将(3-1-12)代入(3-1-10),容易求得ω与q的关系为:
6、 (3-1-13)对于这个结果,作以下分析说明:(1)由式(3-1-12)不难看出,当na-ma=lλ,即第n和第m个原子的位移相等,所以式(3-1-12)所描述的原子围绕平衡位置的振动是以行波的形式在晶体中传播的,是晶体中原子的一种集体运动形式,这种行波称为格波。(2)格波的频率与波矢的关系式(3-1-13)称为色散关系,如图3-1-3所示。ω是q的周期函数,周期性为2π/a,因此可以把q限制在的范围内,这恰好是第一布里渊区的范围,其他区域的情况只需把q平移某个倒格矢G=2πl/a(l为整数)而得到。图3-1-3一维单原子晶
7、格振动的色散关系(3)由色散关系可得到格波的相速度和群速度为: 相速度: 群速度:(3-1-14) 由此可以看到,由于原子的不连续性,格波的相速度不再是常数。但当q→0时,为一常数。这是因为当波长很大时,一个波长范围含若干原子,相邻原子的位相差很小,原子的不连续效应很小,格波接近于连续媒质中的弹性波。 对于格波的群速度来说,由于原子的不连续性,格波的群速度也不等于其相速度,但当q→0时,,体现出弹性波的特征;当,恰好落在布里渊区边界上时,vg=0(此时相速度为),这表明波矢位于第一布里渊区边界时
8、,格波不能在晶体中传播,实际上此时它是一种驻波。因为此时相邻原子的振动位相相反,,此时的波长为2a。(4)原子的位移un应满足周期性边界条件,由式(3-1-11)要求: eiNaq=1
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