(内容提要)-6--特征值数值解

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1、第九章特征值与特征向量的计算．273．矩阵特征值与特征向量的数值计算矩阵的特征值问题有着广泛的应用背景，例如微分方程的刚性比和数值方法的稳定性；动力系统和结构系统中的振动问题；电力系统的静态稳定分析；因子分析模型中的因子载荷、共同度和特殊方差的估计，实质上是矩阵的特征值问题。设阶实矩阵的特征值问题是求和非零向量，使得成立。其中为特征值(CharacteristicValue)，为的对应于的特征向量(CharacteristicVector)。一般地，代数方法只适用阶数较低的矩阵，当矩阵阶数很高时，用代数方法求矩阵的

2、特征值和特征向量是极为困难的，本章介绍几种比较有效的数值方法，幂法和反幂法、方法及雅可比方法，我们仅对实矩阵进行讨论。§1幂法和反幂法一、幂法(ThePowerMethod)幂法主要用于求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量的数值方法。它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。设阶实矩阵的特征值满足且与对应的特征向量线性无关。幂法的基本思想是给定初始向量，由迭代公式（9-1）产生向量序列：第九章特征值与特征向量的计算．273．上述向量称为迭代向量。为简便起见，不妨设。因为线性无关，故必存在个不全为零的数

3、，使得。于是由式（9-1）得（9-2）设，由得于是故只要k充分大，就有（9-3）因此，可以近似作为与相应的特征向量。下面我们通过特征向量来计算特征值。用表示的第个分量，由于所以第九章特征值与特征向量的计算．273．（9-4）上式这种由已知非零向量及矩阵的乘幂构造向量序列用来计算矩阵按模最大的特征值（按（9-4）式）与对应的特征向量（按（9-3）式）的方法称为幂法。值得注意的是，因为，当时，的各分量要趋于无穷，当时，各分量要趋于零，这在计算机里称为“上溢”和“下溢”。为了克服这个缺点，，就需要将迭代向量加以规范化。设

4、有以向量，将其规范化得到向量，其中表示向量的绝对值最大的分量。任取一初始向量，构造向量序列（9-5）由可知这说明规范法向量序列收敛到所对应的特征向量。同理可知，第九章特征值与特征向量的计算．273．综上可知：按上述方法构造的向量序列，。三、反幂法(InversePowerMethod)反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也可以用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。设为阶非奇异矩阵，为的特征值与相应的特征向量，即由于所以的特征值是的特征值的倒数，而相应的特征向量不变。如果的特征值的次序为，则的特征

5、值为第九章特征值与特征向量的计算．273．，因此，若对矩阵用幂法，即可计算出的按模最大的特征值，从而求得的按模最小的特征值。这就是反幂法的基本思想。因为的计算比较麻烦，而且往往不能保持矩阵的一些好性质（如稀疏性），因此，反幂法在实际运算时以求解方程组（9-7）代替幂法迭代求得，每迭代一次要解一个线性方程组（9-7）。由于矩阵在迭代过程中不变，故可对先进行三角分解，这样，每次迭代只要解两个三角形方程组。反幂法计算的主要步骤如下：1．对进行三角分解2．求整数，使得,计算（9-8）3．解方程组（9-9）反幂法与原点移位法

6、结合还有更好的应用。设已求得的一个特征值的近似值为，因为接近，并且于是的特征值为，故是矩阵的按模最小的特征值，且由上式可知，比值较小。因此，对第九章特征值与特征向量的计算．273．用反幂法求一般收敛很快，通常只要经过二、三次迭代就能达到较高的精度。例3用反幂法求矩阵的最接近的特征值，并求相应的特征向量。解对矩阵按公式（9-5）计算的数值结果见下表由表可知13.22018，相应的特征向量为（1-0.23510548-0.17162117）T。0123451-2.4545450-4.5908214-4.54094172

7、-4.54175138-4.5417385110.666666691.078189371.067640541.067790031.0677876510.484848500.787504670.779340090.77460370.779458521111111-0.271694960.23453777-0.23511435-0.23510535-0.235105481-0.19753087-0.17130533-0.17162521-0.17162110-0.171621171-2.4545450-4.590821

8、4-4.5409417-4.54175138-4.54173851-13.40741-13.21753-13.22022-13.22018-13.22018第九章特征值与特征向量的计算．273．§2Jacobi方法Jacobi方法是计算实对称矩阵的全部特征值及相应的特征向量的一种矩阵变换方法，实对称矩阵有如下的性质：（1）的特征值均为实数；（2）任意实对称矩