量子力学第二章习题2

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1、高等量子力学第二章习题1、已知角动量算符满足算符关系，试证：(a)力学量算符，构成体系转动性质的力学量完全集。(b)若，共同本征矢为λ,μ>,相应的本征值分别为和，试用角动量算符的厄米性证明：。(c)利用量子力学的一般测不准关系：，证明(提示：取,)2、此题讨论角动量算符的矩阵表示：角动量算符，的共同本征基矢量由jm>给出，这样的Hilbert空间的基矢量满足正交性条件:描述物理体系转动部分的Hilbert空间可以分解为子空间的直和其中是由相同j的基矢量jm>所张成的一个2j+1维子空间,试求力学量算符，,和相对子空间的矩阵表示，并将你所求的结果取情况与

2、熟知的结果比较之。3、自旋为1的两个粒子,总自旋为,应用C.G系数表达式的结果，求合成总自旋，所有可能的共同本征态。要求将其表示成子系统自旋本征态乘积的叠加形式4、此题讨论有限转动变换的一些性质：（a）试证：绕x轴转动β角的有限转动可以通过先绕z轴转动角，再绕y轴转动β角，最后再绕z轴转动这样的复合操作来完成。（b）试求绕x轴转动β角在，完全集表象的矩阵元(应用函数表之)。5、试证明有限转动变换的D函数满足下述展开性质6、设总角动量是由两个子系统角动量和合成的角动量，其合成角动量，的共同本征态矢为jm>,求证：(a)(b)(c)当时,7、笛卡尔坐标系中四

3、极矩张量定义为：其分量形式为：，，它们满足无迹条件：只有5个独立分量。（a）试证明适当线性叠加后，可构成二阶球张量。（提示：建立起与球谐函数,m=2,1,0,-1,-2的联系,球谐函数的表达式为：。（b）通常以四极矩动量的期望值作为实验测量参量，试应用(a)中的结果计算下述矩阵元，最后的结果应为和C.G系数的表达式。8、本题目的为进一步了解球谐函数与D函数的关系，作为转动变换不可约张量算符的一些重要性质：已知球谐函数与D函数的关系为(a)试证明球谐函数满足下述乘积展开规则：(b)利用球谐函数为无自旋系统轨道角动量在坐标系表象中的波函数，其满足正交归一化条

4、件：其中为立体角的积分元，试求：（c）球谐函数为转动变换下秩不可约张量,利用(a)和(b)的结果，求在共同本征表象中的矩阵元,并利用Winger-Eckart定理求出约化矩阵元的表达式。9、此题讨论不可约张量算符的性质（a）已知为k秩不可约张量算符,试证:一般而言,并不构成不可约张量算符。（b）如果定义这样的张量算符,试证这一张量为k秩不可约张量算符。（c）试证明:(b)中定义的不可约张量算符的约化矩阵元和初始出发的不可张量的约化矩阵元满足关系：