量子力学第二章习题 答案

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1、第二章习题解答p.522.1.证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令可见无关。2.2由下列定态波函数计算几率流密度：从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点)传播的球面波。解：在球坐标中同向。表示向外传播的球面波。可见，反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。补充：设，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∴波函数不能按方式归一化。其相对位置几率分布函数为表示粒子在空间各处出现的几率相同。2.3一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态S—方程在各区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③由于(1)、(3)方程中，由于，

2、要等式成立，必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为令，得其解为④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得⑤　　⑥　　　　⑤　⑥　∴由归一化条件得由可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为#2.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是证：（2.6-14）由归一化，得∴归一化常数#2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：令，得由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。可见是所求几率最大的位置。#2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为①将式中的代换，得　

3、　②利用，得③比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程①、③可相互进行空间反演而得其对方，由①经反演，可得③，④由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。　　　　　　　　⑤④乘⑤，得可见，当时，，具有偶宇称，当时，，具有奇宇称，当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#2.7一粒子在一维势阱中运动，求束缚态()的能级所满足的方程。解：粒子所满足的S-方程为按势能的形式分区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③整理后，得Ⅰ：④Ⅱ：.⑤Ⅲ：⑥令则Ⅰ：⑦Ⅱ：.⑧Ⅲ：⑨各方程的解为由波函数的有限

4、性，有因此由波函数的连续性，有整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须∵∴即为所求束缚态能级所满足的方程。#方法二：接（13）式#另一解法：(11)-(13)(10)+(12)(11)+(13)(12)-(10)（b）kactgkk)10()12()13()11(122-=Þ-+令则合并：利用#2-7一粒子在一维势阱中运动，求束缚态的能级所满足的方程。解：（最简方法-平移坐标轴法）Ⅰ：（χ≤0）Ⅱ：（0＜χ＜2）Ⅲ：（χ≥2）束缚态＜＜因此由波函数的连续性，有(7)代入(6)利用(

5、4)、(5)，得#2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为求束缚态的能级所满足的方程。解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态S-方程为对各区域的具体形式为Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：Ⅳ：对于区域Ⅰ，，粒子不可能到达此区域，故而.①②③对于束缚态来说，有∴④⑤⑥各方程的解分别为由波函数的有限性，得∴由波函数及其一阶导数的连续，得∴⑦⑧⑨⑩由⑦、⑧，得(11)由⑨、⑩得(12)令，则①式变为联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须把代入即得此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。#附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。此即为所求方程。#补充1：设，求A=？解：由归一化条

6、件，有利用∴#补充2：求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。解：基态能量为设基态的经典界限的位置为，则有∴在界限外发现振子的几率为)(220220220xaxaxedxedxeaaapaypapaw-¥--¥--=+=òò式中为正态分布函数当。查表得∴∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。#补充3：试证明是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。证：线性谐振子的S-方程为①把代入上式，有把代入①式左边，得当时，左边=右边。n=3，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为。周世勋第二章小结1．波函数的统计解释微观体系的状态由波函数所完全描写。归一化的波函数模的平方，给出了时刻

7、在点附近找到粒子的几率密度。波函数的标准条件：单值、连续、有限。波函数的归一化是在全空间必然找到粒子的体现。2．态叠加原理如果是微观粒子的可能状态，那么它们的线性叠加也是微观粒子的可能状态。3．薛定谔方程微观粒子状态的变化遵从薛定谔方程当无关时，这时粒子的状态变化遵从定态薛定谔方程，这时的波函数称为定态波函数，它具有如下的形式：其中波函数的空间部分满足下面的定态薛定谔方程。上面这个方程即是能量的本征值方程。4．几率流密度和几率守恒定律几率流密度与几率密度满