转载的有限元与求解器简单介绍

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1、1.1PDE#y&]8C  R-a,V2T有限元是一种求解问题的数值方法，求解什么问题呢？－－求解PDE(偏微分方程).那么PDE是做什么用的呢？－－描述客观物理世界。我想如果这两个问题搞清楚了也就明白了为什么要用fem,fem可以做那些东西。PDE可以描述很多物理现象，电磁，流体，换热，diffusion,力学，河床变迁，物种竞争，股票金融，等等等等。。。。乃至整个宇宙，当然也不是所有的物理现象都可以用PDE描述，如微观世界分子原子的运动等等，所以我从来都不建议用有限元方法仿真微观物质现象的原因，这是题外话就不多说了。除了PDE

2、以外，ODE同样也可以描述客观世界，但ODE多用于控制系统，很多线性PDE的解法也都是将PDE转化为ODE来解的，如separatingvariables方法。!

3、/Y5~/n(V(V)p0}'^1.2求解PDE5g.U7J'?#y2]$a"^有了PDE以后，问题是如何求解并得到结果，首先要说明的是不是所有的PDE都有解的，往往有解的PDE才有实际工程意义。对于数值解法，常用的是有限差分，有限元和谱方法，还有蒙特卡罗法。有限差分出现的较早，计算精度相对较高，但是费时，且模型形状必须规则，边界条件处理困难。有限元方法效率高且满足精度

4、要求，边界条件容易处理，得到了广大的应用。谱方法是基于FFT方法的解法，精度高，收敛快，必须使用periodicboundarycondition，适合微观尺度的PDE解。蒙特卡罗法不是基于弱解形式的，多用于金融分析，这里还是着重有限元解PDE，顾名思义，有限元将整个计算几何模型划分为很多小的单元（element）,每个单元的含有一定数量的节点(node)，具体单个单元有多少节点，有对应的不同算法与差值方程，拿一个简单的线性4节点平面单元来说，每个单元包含4个节点，每个节点有对应的variable值，比如简单固体力学问题，每个节点

5、就有对应的位移值，热力学问题每个节点就有对应的温度值，等等。然后单元内部的variables就通过差值方法计算得出。*B(P+k6N+e%B1.3Galerkinapproximation与weakformation(I##^-p.P  {/t'U0w#_*v4G/A*w-M$@3w,F弱解(weakformation)是建立在变分法基础上的，通过这个方法将strongform的PDE转换为weakform,使得有限元的求解成为可能，具体如何推导weakform可以参考一些有限元书籍，如果一本基础的有限元书籍没有介绍如何推导we

6、akform,那么可以考虑选择换一本了。推导所得的弱解形式仍需要通过计算机来计算，Galerkin方法推导出含有求和符号的公式，在计算机中多半以loop的形式来计算这个量，往往这个量就是stiffnessmatrix中的component。公式中还会存在积分计算，有限元方法多用gaussquaradure的方法来计算，精度一般可以满足。也就说一般有限元计算中存在两次approximation,一次是Galerkin一次是gauss,这也是很多人在计算完以后需要进行validation的原因。单个单元的stiffnessmatrix

7、计算完成后，还需要将所有单元的矩阵装配为一个大型的矩阵，然后进行线性代数计算。这个装配是很有技巧的，因为一般情况下stiffness　matrix是一个很大的稀疏矩阵，０值往往可以省去以节省计算量。要知道，一个１００个单元的４节点平面单元单个变量的stiffnessmatrix会有101x101大，随着单元数或变量的增加，计算是惊人的。$b0Z-w3N"r3p3p7x1.4后处理其实对于最基本的有限元方法，求解得到的仅仅是variable的值，如力学就是节点位移值，thermalproblem就是温度值，流体就是位移速度加压力值，

8、如果我们想知道应力或者应变怎么办呢？后处理系统里面个都会增加相应子程序来计算stress,strain,flux等等。这也就是为何我们能看到各种各样俄contour的原因了，当然读者也可以自己加入计算各种量的子程序，如应变能密度什么的。关于什么是有限元就介绍到这里，仅仅是一些随笔和想法，具体的理论和推导需要自身实践与探索，本文行文仓促只是阐述自己对有限元的粗浅理解。有不对的地方还请指正。下一章会谈及一些我曾经用过得软件。CH2_有限元软件的介绍与比较bycaoer"i7y;l0I*_  F;a  N*]有限元软件很多，有商业的，开

9、源的，免费的，并行的，多物理场的，专业于某领域的，这里仅仅介绍一些笔者曾经用过的，遗漏的还请高手补充，我会注明是你的补充。;]%m1D-T.T'P5U&O+M.}%Z(l'H,[2.1ANSYS7?6N;Q-_1S第一个学习的有限元软件，也是上世纪