高中数学《离散型随机变量的均值与方差》

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1、《离散型随机变量的均值与方差》高考考点剖析数学期望与方差都是离散型随机变量最重要的特征数，它们都是建立在分布列基础之上的，数学期望与方差是高考的重点，具体内容是如下：一、基本考点剖析（1）、基本公式：1、离散型随机变量X的期望：……2、离散型随机变量X的方差：DX=(3、若X为随机变量，则E(aX+b)=aEX+b.D(aX+b)=a4、若X服从两点分别，则DX=p(1－p)5、若X～B(n,p),则DX=np（1－p）（2）、基本方法：求期望方差的关键是求X的分步列，即首先确定X的取值及相应取值下的频率。概率分布通常是由等可能事件、随机事件、互斥事件、对立事件、独立事件、独立重复事

2、件等引起的，在计算相应的概率前要确定事件类型。求离散型随机变量的分别列，要求必须正确地求出相应事件的个数，即正确求出相应的排列组合数，所以必须掌握好排列组合的知识。应用期望与方差解决实际应用问题是高考的重点。近几年期望与方差常常与其他的知识综合考查。（3）、注意的两点：注意知识之间的内在联系：1、随机变量X的分步列是用定义计算期望EX和方差的先决条件；2、方差与期望之间有密切的关系，按定义求随机变量X的方差DX，必先求得X的期望EX。（4）、思想方法：1、概率的思想,理解、计算期望和方差，离不开概率和概率思想。2、随机变量的期望与方差的概念是由大量具体的实例抽象概括出来的，特别是服从

3、两点分别与二项分别的期望与方差能得出解的计算公式。二、典型例题例1、（2005全国卷）设为平面上过点（0，1）的直线，的斜率等可能的取－2用X表示坐标原点到的距离，则随机变量X的数学期望EX=_________解：当的斜率为时，直线方程为此时当为时，当为时，当为0时，由等可能事件的概率公式可得分步列如下：3用心爱心专心X1P所以：EX=×＋×＋×＋1×＝点评：本题主要考查了以解析几何为载体，等可能事件的概率及随机变量的数学期望，关键是求出随机变量及分步列。例2、（2005湖南卷）某城市有甲乙丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景区的概率分别为，且客人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客

4、人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。（1）、求X的分步列及数学期望。（2）、记“函数在区间[2,+上单调递增”为事件A,求事件A的概率。解(1)、分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点”为事件A由已知A相互独立，P(A客人游览的景点数的可能取值为0、1、2、3。相应的。客人没有游览的景点数的可能取值为3、2、1、0。所以X的可能取值为1、3。P(X=3)=P(A)+P()==2P(X=1)=1－0.24＝0.76,所以X的分步列为：X13P0.76,0.24EX=1×0.76＋3×0.24＝1.48(2)、X的可能取值为1、3。X=1时，

5、函数在区间[2,+上单调递增。X=3时，函数在区间[2,+上不是单调递增所以P(A)=P(X=1)=0.76.点评：本题考查概率的基本知识和期望等概念及解决实际问题的能力，切入点是准确求出分步列，其中（2）问与二次函数的单调性结合，成为该题的亮点。3用心爱心专心例3、（2005全国卷）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑内至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种费用，写出X的分布列并求X的数学期望。解：因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为（1－所

6、以单个坑不需要补种的概率为1－3个坑都不需要补种的概率为：C恰有1个坑需要补种的概率为：C恰有2个坑需要补种的概率为：C3个坑都需要补种的概率为：C补种费用X的分布列为：X0102030P0.6700.2870.0410.002X的数学期望为：EX=0×0.670＋10×0.287+20×0.041+30×0.002＝3.75点评：求解离散型随机变量的期望的应用题时，首先仔细的分析题意，当概率分布不是一些熟习的类型（两点分布、二项分布等）时，应全面的剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，再由此求出各随机变量相应的概率。3用心爱心专心