西电工程数值方法下

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1、Chapter5常微分方程边值问题的数值解法§5.1数学模型二阶常微分方程的边值问题如下：控制方程：(0.1)其边界条件（BoundingCondition,B.C）可分为如下三类：（1）第一边值条件:（1.1.1）（2）第二边值条件：（1.1.2）（3）第三边值条件：（1.1.3）其中:第一边值条件给定了在边界处的函数值；第二边值条件给定了在边界处的导数值；第三边值条件为混合边界条件，给出了边界处的函数值和导数值之间的关系。当方程为线性方程时，其一般形式为：(0.2)设其系数、及自由项均为区间内的连续已知函数，故方程为变系数的线性方程，为消除其中的

2、一阶项，处理方法如下：将(0.3)式两端乘以，即得：(0.4)由求导公式，则上式可改写为：(1.3a)令：，则方程（1.3a）可以新变量表为如下形式：(0.5)此形式仍为二阶变系数线性常微分方程，但其中已不显含一阶导数项，而边值条件的形式不变。这表明，对于一般形式的二阶常微分方程，总可以通过上述变量变换的处理将其转化成不含一阶导数项的形式。为此，在下面考虑线性方程的情况时，可以假设方程中不再显含项。对于方程在多数情况下，无法求得其解析解，故只能采用数值方法求解。关于边值问题的数值解法有多种，本章只介绍其中比较常用的两种方法：差分法和试射法。§5.2解

3、线性边值问题的差分方法§5.2.1差分方程的建立现对线性方程的情况来讨论之，设方程的形式为：(1.1)1.将区间离散化：取等间距将区间划分为等分，诸结点为：如此，我们将原在上求解方程解的问题转化为求各结点上近似解值问题。为此，我们首先应将方程中的变量进行离散化处理，其具体作法是：2.构造差分方程对内部结点，利用二阶中心差商来近似原二阶微商，由二阶中心差商的关系式：(1.2)其中，将它代入方程中，得在结点处所满足的关系式：其中，在上式中，若略去截断误差项（它是间距的二阶小量），则可得原微分方程的近似差分方程为：(1.3)这是含有共个未知数的线性方程组，

4、而方程的个数为个，欲使此方程组有唯一解，还需由两个边值条件补充两个方程。对于第一边值条件，可直接由给定的边值条件给出两个补充方程，即：(1.4)将方程与联立即构成了第一边值问题完整的差分方程组。对于第二和第三边值条件，由于两者均给出了边界处的一阶导数信息，相应于差分方程的形式，对于边界的导数值或表达式，我们亦须用差商来近似表示之。因为我们无法利用区间之外结点的信息，所以在引进两个边界导数的差分近似表达式时，就不能再利用中心差商公式。若要求的截断误差为一阶的，即，则我们可利用简单的前、后差商表达式来近似原导数边值条件，即有：(1.5)若要求的截断误差为

5、二阶的，即，则原导数边值条件的差商近似表示需利用Newton等距插值公式（补图）：前插公式：(1.6a)后插公式：(2.6b)其中为向前差分符号。将方程、（2.6b）与方程组联立，即构成了第二边值问题完整的差分方程组。对于（1.1.3）式给出的第三边值条件，利用和(2.6b)式，其边值条件可以差分方程近似表为：(1.7a)(2.7b)将方程、(2.7b)与方程组联立，即构成了第三边值问题完整的差分方程组。至此，我们通过离散化的处理，将原微分方程的边值问题近似转化成为一个差分方程组（线性方程组）的边值问题了。§5.2.2差分方程组的解法——追赶法由上述

6、建立的差分方程组，其系数矩阵为三对角形的，故通常利用求解线性方程组的追赶方法求解。现以第一边值问题的差分方程组求解为例：分别将代入内部结点和的差分方程中，消去未知数，则上差分方程组可表为：(1.8.1)（2.8.2）（2.8.n-2）（2.8.n-1）此方程组的系数矩阵是三对角形，且（即主对角元素均为主元素），故可按自然顺序利用追赶法求解，其计算步骤如下：先从方程（2.8.1）中解出(1.9.1)将上式代入方程（2.8.2）中解出（2.9.2）一般可设有下列递推关系式：（2.9.i）（2.9.i+1）为了求得的递推公式，可将（2.8.i）式代入（2.

7、8.i+1）式中，解出为：从而有的递推关系式为：(1.10)即由上式，从开始，可逐次求出之值，首先需要之值。由（2.9.i）式可看出，当时，由B.C，则有：从而应有：这样便可利用递推公式按下标从小到大的顺序逐个求得系数，此过程称为追的过程。而求的过程正好相反。因为已知，于是倒过来，我们先从（2.9.i）中最后一个方程中直接求出，即：将此式代入（2.9.i）中的倒数第二个方程中解得，依次往上逐次求解，即可求得。求的过程中下标由大到小，故此过程称为赶的过程。对于系数矩阵呈三对角形式的线性方程组，追赶法是一种十分有效的方法，它在微分方程边值问题的数值解法中

8、有着广泛的应用。例1（《计算方法》武大版）解:取步长,则结点,按(2.8)式,其差分方程为:其解为:例2(《