地震纵波和横波传播的动力学特点

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1、中国地质大学（北京）应用地震学—§1.3(a)备课教师：段云卿§1.3地震纵波和横波传播的动力学特点序：在无限均匀的、各向同性的、理想的弹性介质中，只存在纵波和横波。1．讨论这种介质中波传播的动力学特点(A、f、φ的变化)2．讨论这种介质中波场的定量计算3．讨论粘弹介质的情况一、地震波的球面扩散1．波动方程(6.1-8)其中λ、μ是拉梅常数，ρ是密度是位移向量是外力向量是拉普拉斯算子是体变系数是体变系数的梯度2．复习场论的几点内容9中国地质大学（北京）应用地震学—§1.3(a)备课教师：段云卿胀缩力，产生固体、气体、液体的剪切力、产生固体的转体积大小变化，形成纵波是无旋场动，形成横波

2、，是无散场。3．纵波的波动方程（1）方程如果外力是胀缩力、无剪切力，则外力矢量是无旋场，位移矢量就是无旋的。即，则表明介质中的各小部分只有体积的胀缩，而没有转动，介质中就只有纵波而没有横波。对（6.1-8）求散度(div)得纵波方程：或(6.1-9)（2）物理意义如果对介质作用胀缩外力div的话，产生由体变系数θ决定的介质体积相对胀缩的扰动，这就是纵波，纵波的传播速度为(6.1-11)4．横波的波动方程（1）方程如果外力是剪切力无胀缩力，则外力矢量是无散的。位移矢量就是无散的。即，则表示介质各小部分只有转动而没有体积的胀缩，介质中就只有横波而无纵波。9中国地质大学（北京）应用地震学—

3、§1.3(a)备课教师：段云卿对（6.1-8）式求旋度（rot）得横波方程或（6.1-10）其中（2）物理意义：如果对介质作用旋转外力rot的话，产生由向量决定的角度转动的扰动，这就是横波，横波的传播速度为(6.1-11)大家知道气体和液体中不可能有横波，为什么呢？因为无法对气体和液体施加旋转力或剪切力。5．用位移位表示纵、横波的波动方程就象重力场可用重力位、电场可用电位来描述一样，地震波场也可用质点位移的位移位描述。根据涡流电场的理论：任何一个矢量场，如果在定义域内有散度和旋度，则任何一个矢量场=该矢量场的标量位的梯度+该矢量场的矢量位的旋度则位移矢量场=位移矢量场的标量位的梯度+

4、位移矢量场的矢量位的旋度，即(6.1-12)其中——位移场的标量位——位移场的矢量位——标量力位——矢量力位将（6.1-12）代入（6.1-9）和(6.1-10)，得9中国地质大学（北京）应用地震学—§1.3(a)备课教师：段云卿用位移位表示的纵波波动方程：(6.1-13)用位移位表示的横波波动方程：(6.1-14)5．求解波动方程（1）求解齐次波动方程①齐次方程要研究波的动力学特点，则要求解其波动方程。求解波动方程要知道初始条件。地震勘探中一般用炸药震源，激发出的脉冲波的延续时间为Δt，可写成：(6.1-15)(6.1-15)式中，当t>Δt时，的物理意义是震源力作用已结束，波动在

5、弹性介质中传播，标量力位=0，矢量力位=0，此时波动方程（6.1-13）和（6.1-14）变为齐次方程：(6.1-16)(6.1-17)②齐次方程的解齐次方程的解只研究波与介质性质的关系，而不考虑震源力的作用，这类问题属于波的传播问题。但波的性质首先决定于震源的性质，则必须将波动与震源联系起来，这就要求解非齐次方程，这类问题属于波的激发问题。因此研究波动方程的解时，思想方法是：先求解齐次方程，这样数学上容易处理，只研究波同介质的关系，不涉及震源，使问题单一化。然后再研究激发问题，把波同震源联系起来。纵波和横波的波动方程（6.1-16）和（6.1-179中国地质大学（北京）应用地震学—

6、§1.3(a)备课教师：段云卿）形式完全一样，求解的数学过程完全相同，下面以纵波为例。用图6.1-4所示的球腔震源模拟实际炸药震源，半径为a的球腔具有球形对称性，均匀作用在球腔壁上的力是单位正压力P0。aP0P8图6.1-4考虑到球形对称性，将（6.1-16）用球坐标（r，α,β）表示，因为球形对称性，方程与α、β无关，于是（6.1-16）成为：（6.1-18）可见方程只与传播距离r有关，三维波动方程变成一维波动方程。如果令，上式成为（6.1-19）上式为弦方程，可用达朗贝尔法解，得（6.1-20）a——是震源球腔半径r——是传播距离Vp——纵波速度表示随时间增加，波动向远离震源的方

7、向传播。表示随时间增加，波动由远处向震源传播。不符合物理意义，舍去。9中国地质大学（北京）应用地震学—§1.3(a)备课教师：段云卿f(x)C(t)0x0tf(x-vt)C(t-Δt)0x0tf(x+vt)C(t+Δt)0x0t示意图t<0有波动，物理上不成立（6.1-20）变成：（6.1-21）或（6.1-22）③齐次方程解的物理意义从上述波传播问题的解中可看出，在震源作用结束之后，纵波是以速度Vp沿径向r方向远离震源传播。传播速度Vp只决定于介质的常数