§6 mathematica求定积分以及相关应用问题

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1、§6Mathematica求定积分以及相关应用问题6.1用Mathematica求定积分1定积分的运算在不定积分中加入积分的上下限便成为定积分(definiteintegral)。Mathematica的定积分命令和不定积分的命令相同，但必须指定积分变量的上下限。(1)Integrate[f,{x,下限,上限}](2)例6.1计算定积分。解Out[1]=4-2ArcTan[2]和不定积分一样,除了我们指定的积分变量之外,其它所有符号都被作常数处理.例6.2计算定积分。解2数值积分如果Mathematica无法解出积分的符号表达式或者定积分的结果过于冗长而失去意义时，

2、我们就可以用数值积分求解。数值积分只能进行定积分的运算，即必须指定上、下限。用Mathematica求解数值积分有两种形式：(1)NIntegrate[f,{x,a,b}]从到，做的数值积分。(2)N[]求定积分表达式的数值例6.3求定积分。解用Integrate命令无法求的定积分，用NIntegrate命令即可求得其数值积分。In[1]:=NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,0,Pi/3}]Out[1]=0.466185求定积分表达式的数值，也能得到与上式相同的结果。478Out[2]=0.466185例6.4求定积分的近似值。解被积函数的原函数不

3、能被等函数表示，我们可以计算它的数值积分。In[3]:=NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}]Out[3]=0.7468241近似值积分用Mathematica计算定积分的近似值还有矩形法、梯形法和抛物线法用分点将区间分成个长度相等的小区间，每个小区间长度为矩形法公式：梯形法公式：抛物线法公式：例6.5分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分。解为了便于比较，首先计算积分的精确值：In[1]:=Clear[x];y[x_]=x^2;Integrate[y[x],{x,0,1}]Out[1]=(1)矩形法In[2]:=Clear[y,x,s1,n,

4、b,a];n=20;a=0;b=1;y[x_]:=x^2;s1=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,0,n-1}]//N;s2=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,1,n}]//N;Print[“s1=”,s1”s2=”,s2]Out[2]=s1=0.30875s2=0.35875(2)梯形法In[3]:=Clear[y,x,a,b,ss3,s3];478y[x_]:=x^2;n=20;a=0;b=1;ss3=Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];s3=(y[a]/2+y[b]/2+ss3)*(b-a

5、)/n//N;Print[“s3=”,s3]Out[3]=0.33375(1)抛物线法In[4]:=Clear[y,,x,a,b,s3];y[x_]:=x^2;n=20;a=0;b=1;m=10;ss1=Sum[(1+(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss1=2y2+2y4+…+2yn-2*)ss2=Sum[(1-(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss2=2y1+2y3+…+2yn-1*)s4=N[(y[a]+y[b]+ss1+2ss2)*(b-a)/3/n,20];Print[s4=”,s

6、4]Out[4]=0.33333333333333333333由上述结果可知：抛物线法近似程度最好，矩形法近似程度最差。6.2用Mathematica计算相关定积分应用问题在解有关定积分应用问题时会用到的Mathematica函数有以下几种：1、Solve[{方程1，方程2}，{变量1，变量2}]：求解二元方程组。2、Plot[f[x],{x,a,b}]：画一元函数图形。3、ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,t1,t2}]：二维参数作图。4、Integrate[f[x],{x,a,b}]：计算定积分。5、Show[f1,f2]：将函数组合显

7、示。1利用定积分计算平面图形的面积有连续曲线，直线及轴所围成的曲边梯形的面积为例6.6求由抛物线和直线所围成图形的面积。解首先画出函数图形，如图6-1所示In[1]:=Plot[{Sqrt[2x],-Sqrt[2x],-x+4},{x,0,9}]Out[1]=-Graphics-478图6-1然后求出两条曲线的交点：In[2]:=Solve[{y^2-2==0,y+x-4==0},{x,y}]Out[2]={{x®2,y®2},{x®8,y®-4}}再以y为积分变量求面积：In[3]:=s=Integrate[-y+4-y^2/2,{y,-4,2}]Out[3]