运筹学练习参考答案

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1、线性规划问题1、某工厂生产I、II、III三种产品，分别经过A、B、C三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时、设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见下表：IIIIII设备能力（台时）ABC1102142156100600300单位利润（元）1064（1）求获利最大的产品生产计划；（2）产品III每件的利润增加到多大时才值得安排生产；（3）如有一种新产品，加工一件需设备A、B、C的台时各为1，4，3小时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产。解：（1）设x1，x2，x3分别为I、II、III三种产品的产量，z表示利润。该问题的线性规划模型为：用单纯形法求上

2、述线性规划问题。化为标准形式：1064000b01001111001000600[10]45010600300226001150010640000400[0.6]0.51-0.10200/3106010.40.500.10150018001.250-0.21150-60002-10-10126200/3015/65/3-1/6010100/3101/6-2/31/600100004-201-2200/300-8/3-10/3-2/30所以最优解为x*=(100/3，200/3，0，0，0，100)T，即产品I、II、III的产量分别为：100/3，200/3，0；最优

3、解目标函数值z*=2200/3（2）设产品III每件的利润为c3产品III每件的利润增加到20/3时才值得安排生产。（3）设x7为新产品的产量。10640008b6200/3015/65/3-1/60[1]200/310100/3101/6-2/31/600-0100004-2011100-2200/300-8/3-10/3-2/3028200/3015/65/3-1/60110100/3101/6-2/31/6000100/30-119/6-11/31/610-2600/30-2-13/3-20/3-1/300所以最优解为x*=(100/3，0，0，0，0，200/

4、3)T，即产品I的产量：100/3，新产品的产量：200/3；最优解目标函数值z*=2600/3122、已知下列线性规划问题：求：（1）用单纯形法求解，并指出问题属于哪一类解；（2）写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解；解：（1）将原问题划为标准形得：6-33000b06031110020020[2]-24010100603-330012006-3300003004-51-3/2015/26101-1201/20-0300[6]-90-3/215-6003-90-300100011-1/2-2/3615101/201/41/6-3501-3/20-1/41/6

5、-7500-9/20-9/4-1/2最优解为x*=(15，5，0，10，0，0)T最优解目标函数值z*=75非基变量的检验数<0,为唯一最优解.12（2）该问题的对偶问题为：对偶问题的最优解：y*=(0，9/4，1/2)3、已知线性规划问题：求：（1）用图解法求解；（2）写出其对偶问题；（3）根据互补松弛定理，写出对偶问题的最优解。解：（1）图解法由上图可知：在B(2,4)处，目标函数达到最大值。即最优解为x*=(2,4)T最优解目标函数值z*=10为唯一最优解（2）该问题的对偶问题为：（3）原问题的最优解x*=(2,4)T代入约束条件，可知约束条件取等式，因为x1*

6、，x2*不为0，在对偶问题中相应的约束条件为紧约束，即对偶问题的最优解及最优目标函数值为：12运输问题1、某产品有三个产地、四个销地，各产地的产量、各销地的销量以及产地到销地之间的单位运价见下表：销地产地B1B2B3B4产量A141241116A22103910A38511622销量8141214（1）用表上作业法求该运输问题的最优调运方案。（15分）（2）该问题是否有多个最优调运方案？若没有，说明为什么；若有，请再求出一个最优调运方案来。（5分）解：（1）先用Vogel法或最小元素法求初始基可行解；用位势法或闭回路法求出非基变量的检验数；若还未得到最优解，则用闭回路

7、调整法，得到改进方案，再检验最优性。①求初始基可行解（Vogel法）销地产地B1B2B3B4产量差额A14121244111600070A282103291011160A3814511862212销量8141214差额2225111133222初始解为：x13=12,x14=4,x21=8,x24=2,x32=14,x34=8，其余变量为0；相应的目标函数值z=4×12+11×4+2×8+9×2+5×14+6×8=244②最优性检验（位势法）根据基变量的检验数为0，即sij=cij–ui–vj=0s13=c13–u1–v3=4–u1–v3=0s14=