线路测量中的正反算问题及编程方法

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1、线路测量中的正反算问题及编程方法   汪相艮  （山东省铁道战备舟桥处栈桥段，山东齐河251100）2009-4-8摘要：文章提出了线路测量中正反算问题的新概念，给出正反算问题的统一数学解算模型和计算器程序代码。关键词：线路测量；正反算问题；解算模型；编程中图分类号：TPl83　　文献标识码：A　　文章编号：1009-2374（2009）07-0021-02 　　一、正反算问题的概念　　随着全站仪、RTK技术、线路计算理论及计算机的广泛应用，线路测设已逐渐由原来的基于局部坐标系的图形关系放样法如偏角法、切线支距法、弦线支距法等，过渡为基于与

2、线路控制相统一的线路坐标系的坐标放样法。这种坐标放样法的前提是依据放样点在线路中的相对关系计算出其在线路统一坐标系中的坐标。依据的相对关系通常可以描述为：如图1所示，放样点P距线路曲线元起点A的曲线长L及放样点P至线路中线的垂距D。已知L和D计算P点在线路坐标系中统一坐标的过程称为线路的正算问题，其数学模型可概括为：  XP=fX（L，D，XA，YA，αA）  XP=fY（L，D，XA，YA，αA） 　　式（1）表明正算过程是以L，D为引数的，当然其前提是该线路的曲线元是已知的，或者说其在线路统一坐标系中的位置是固定的，即其起点坐标XA，Y

3、A及其方位角αA是已知的。同时也必然隐含着曲线元本身的形状是一定的，例如若是圆曲线时，其半径R是已知的；若是缓和曲线时，其R和LS是已知的。 图1放样点或测量点与线路中线的相对关系　　线路中的反算问题则是上述正算问题的逆过程，即已知线路中线外一点P在线路统一坐标系中的坐标P（XP，XP），计算出P至曲线元起点的曲线长L及P距中线的垂距D，其数学模型概括为：  L=fL（XP，XP，XA，YA，αA）  D=fD（XP，XP，XA，YA，αA） 　　式（2）反算过程是以XP，XP为引数的，其他含义与正算是相同的。　　二、正反算问题的统一解算模

4、型　　实际线路构形尽管很多，但都是由直线、圆曲线和缓和曲线的不同组合构成。给出适合于各种构形的正反算问题的统一解算模型，必须先找出能代表三种曲线单元的统一曲线单元——曲线元。曲线元具有三种曲线单元的共性，即其曲率随弧长作线形变化。曲线元可以代表三种曲线单元中的任意一种，这样，依据曲线元所推出的正反算问题的解算模型，必然成为适合于各种线路构形的统一结算模型。比较现行的教科书可知，统一模型具有概括性强、适用性广、公式形式简洁、计算精度高等特点。　　（一）正算问题的统一解算模型　　如前所述，正算问题是以弧长L和垂距D为引数计算曲线元外任意点P在线

5、路统一坐标系中坐标的过程，前提是已知曲线元本身的参数及确定曲线元在线路坐标系中位置的参数。如图1，需已知下列参数：曲线元起点A的曲率KA，终点B的曲率KB，曲线元的弧长LS，曲线元起点A在线路坐标系中的坐标值XA，YA，起点A在线路坐标系中的切线方位角αA，表示曲线元偏向的符号函数α=±1，表示边桩点P边向的符号函数β=±1。它们的取值规定如下：当曲线元左偏时，α取-1，当曲线元右偏时，α取+1；当边桩点位于曲线元的坐标计算方向左边时β取-1，当P位于右边时β取+1。　　文献[2]应用数值积分的Gause-Legendre公式给出了曲线元上

6、任意一点P′的坐标计算公式及其切线方位角计算通式：X=XA+L∑Ricos[αA+α（KAViL+KABVi2L2/（2LS））]　i=1→4；Y=YA+L∑Risin[αA+α（KAViL+KABVi2L2/（2LS））]　i=1→4；  α=αA+α（KAL+KABL2/（2LS））　　 （4）　　式中，KAB=KB-KA，Ri及Vi为常数，其值为：　　R1=R4=0.1739274226，R2=R3=0.3260725774  　　V1=0.0694318442，V2=0.3300094782 　　V3=0.6699905218，V4

7、=0.9305681558　　则已知L，D计算P点坐标的统一数学模型为X=XA+L∑Ricos[αA+α（KAViL+KABVi2L2/（2LS））]－　　　βDsin[αA+α（KAL+KABL2/（2LS））]　　i=1→4Y=YA+L∑Risin[αA+α（KAViL+KABVi2L2/（2LS））]＋　　　βDcos[αA+α（KAL+KABL2/（2LS））]　　 i=1→4；　　各符号说明：（XA，YA）——A点的坐标；L——P′点相对于A点的里程增量；KA——曲线元起点A的曲率；KB——曲线元重点B的曲率；LS——曲线元的弧长

8、；αA——起点A在线路坐标系中的切线方位角；α——曲线元偏向的符号函数，曲线左偏取负号，右偏取正号；β——桩点P边向的符号函数，P点位于坐标计算方向左边时取负号，右边取正号；D—