第14章 稳恒电流的磁场---教材习题

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1、第14章稳恒电流的磁场14.1充满εr=2.1电介质的平行板电容器，由于电介质漏电，在3min内漏失一半电量，求电介质的电阻率．εrSq-ql解：设电容器的面积为S，两板间的距离为l，则电介质的电阻为．设t时刻电容器带电量为q，则电荷面密度为σ=q/S，两板间的场强为E=σ/ε=q/εrε0S，电势差为U=El=ql/εrε0S，介质中的电流强度为，负号表示电容器上的电荷减少．微分方程可变为，积分得，设t=0时，q=qm，则得C=lnqm，因此电介质的电阻率的公式为．当t=180s时，q=qm/2，电阻率为=1.4×1013(

2、Ω·m)．14.2有一导线电阻R=6Ω，其中通有电流，在下列两种情况下，通过总电量都是30C，求导线所产生的热量．（1）在24s内有稳恒电流通过导线；（2）在24s内电流均匀地减少到零．解：（1）稳恒电流为I=q/t=1.25(A)，导线产生的热量为Q=I2Rt=225(J)．I24ot/si/A1.252.5（2）电流变化的方程为，由于在相等的时间内通过的电量是相等的，在i-t图中，在0~24秒内，变化电流和稳恒电流直线下的面积是相等的．在dt时间内导线产生的热量元为dQ=i2Rdt，在24s内导线产生的热量为=300(J)

3、．14.3已知铜的相对原子质量A=63.75，质量密度ρ=8.9×103kg·m-3．（1）技术上为了安全，铜线内电流密度不能超过6A·mm-2，求此时铜线内电子的漂移速度为多少？（2）求T=300K时，铜内电子热运动平均速度，它是漂移速度的多少倍？解：（1）原子质量单位为u=1.66×10-27(kg)，一个铜原子的质量为m=Au=1.058×10-25(kg)，铜的原子数密度为n=ρ/m=8.41×1028(个·m-3)，如果一个铜原子有一个自由电子，n也是自由电子数密度，因此自由电子的电荷密度为ρe=ne=1.34×10

4、10(C·m-3)．铜线内电流密度为δ=6×106(A·m-2)，根据公式δ=ρev，得电子的漂移速度为v=ρe/δ=4.46×10-4(m·s-1)．（2）将导体中的电子当气体分子，称为“电子气”，电子做热运动的平均速度为，其中k为玻尔兹曼常数k=1.38×10-23J·K-1，me是电子的质量me=9.11×10-31kg，可得=1.076×105(m·s-1)，对漂移速度的倍数为/v=2.437×108，可见：电子的漂移速率远小于热运动的速度，其定向运动可认为是附加在热运动基础上的运动．ICObaDA图14.414.4通

5、有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形．求圆心O处的磁感应强度B=？解：电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根据毕-萨定律：，圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁场大小为，由于dl=adφ，积分得．OA和OD方向的直线在O点产生的磁场为零．在AC段，电流元在O点产生的磁场为lrθIdlIdlCObaDA，由于l=bcot(π-θ)=-bcotθ，所以dl=bdθ/sin2θ；又由于r=b/sin(π-θ)=b/sinθ，可得，积分得同理可得CD段在O点产生的磁场B3=B2．O点总磁感

6、应强度为．XYRIZo图14.514.5如图所示的载流导线，图中半圆的的半径为R，直线部分伸向无限远处．求圆心O处的磁感应强度B=？解：在直线磁场公式中，令θ1=0、θ2=π/2，或者θ1=π/2、θ2=π，就得半无限长导线在端点半径为R的圆周上产生的磁感应强度．两无限长半直线在O点产生的磁场方向都向着-Z方向，大小为Bz=μ0I/2πR．半圆在O处产生的磁场方向沿着-X方向，大小为Bx=μ0I/4R．O点的磁感应强度为．场强大小为，与X轴的夹角为．IODBCA图14.614.6如图所示的正方形线圈ABCD，每边长为a，通有电

7、流I．求正方形中心O处的磁感应强度B=？解：正方形每一边到O点的距离都是a/2，在O点产生的磁场大小相等、方向相同．以AD边为例，利用直线电流的磁场公式：，令θ1=π/4、θ2=3π/4、R=a/2，AD在O产生的场强为，xO2CIOxRBO1C2aIRB图14.7O点的磁感应强度为，方向垂直纸面向里．14.7两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是I，半径为R，两个圆心间距离O1O2=R，试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁场．证：方法一：用二阶导数．一个半径为R的环电流在离圆心为x的轴线上产生的磁感应强度大小为：．设两线圈

8、相距为2a，以O点为原点建立坐标，两线圈在x点产生的场强分别为，．方向相同，总场强为B=B1+B2．一个线圈产生的磁场的曲线是凸状，两边各有一个拐点．两个线圈的磁场叠加之后，如果它们相距太近，其曲线就是更高的凸状；如果它们相距太远，其曲线的中间部分就会下凹，与两边的峰之间各有