高中数学复习讲义 第五章 数列

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1、高中数学复习数列【知识图解】一、基础知识回顾1、从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.2、对于数列{an}，把Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和，则有3．等差数列与等比数列A．等差数列1）定义：（2）通项公式：an=a1+(n－1)d.（3）前n项和公式：（4）等差中项：（5）任意两项：an=am+(n－m)d.等差数列的性质a.若则即：首尾颠倒相加，则和相等b等差数列中连续项的和，组成的新数列是等差数列。即：也是等差数列；

2、c、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：（下标成等差数列）d、等差，则，，，也等差。e、等差数列的通项公式是的一次函数，即：()；等差数列的前项和公式是一个没有常数项的的二次函数，即：()；f、项数为奇数的等差数列有：；；；　项数为偶数的等差数列有：，,B．等比数列（1）定义：（2）通项公式：an=a1qn－1.（3）任意两项：an=amqn－m.（4）前n项和公式：（5）等比中项：等比数列的性质a、若则即：首尾颠倒相乘，则积相等;b等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：也是等比数列

3、c、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。d、等比，则，，，{an·bn}也等比。其中e、等比数列的通项公式类似于的指数函数，即：，其中　等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即：f、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。求数列通项公式的几种方法1、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.2、公式法（要注意对n的分类讨论，能合则合，不能合则分段表示。）若已知

4、数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例．已知数列的前项和满足,a1=1.(1)求证：数列为等差数列。（2）求数列的通项公式。练习：1、设Sn是数列的前n项和，若a1=1,an+1=(n≥1),求数列的通项公式。3、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例、已知数列中,（n≥2）,且a1=1,求数列的通项公式。练习：1、已知数

5、列满足，，求。2、已知数列满足a1=2,.求数列的通项公式。类型2（1）递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。（或用叠（迭）代法。）例、已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项练习：1、已知数列满足，，求。2、设一次函数f(x)的图像关于直线y=x的对称图像为C,且f(-1)=0,若点（n+1,）(n≥1)在曲线C上，且a1=a2=1.(1)求曲线C的方程。（2）求数列的通项公式。类型3递推公式为（其中p，q均为常数，

6、）。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例、在数列中，若，则该数列的通项练习：1、已知数列中，，，求.2、数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式。4、构造法已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题常较难，往往使用构造法。构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.例：设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.练习：数列中前n项

7、的和，求数列的通项公式.例：设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式an.例：数列中，，前n项的和，求.例：已知数列中，，n≥2时，求通项公式.数列求和的常见方法有：（1）公式法：⑴等差数列的求和公式，⑵等比数列的求和公式（2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含因式，周期数列等等）（3）倒序相加法：如果一个数列｛a｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和

8、，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2（4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。（5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾若干少数项之和。典型题例：一、由规律求数列的通项公式：（周期特征的数列，通用公式型数列，