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1、Matlab多元线性回归1、多元线性回归在回归分析中,如果有两个或两个以上的自变量,就称为多元回归。事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符合实际。在实际经济问题中,一个变量往往受到多个变量的影响。例如,家庭消费支出,除了受家庭可支配收入的影响外,还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响,表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。(multivariab
2、lelinearregressionmodel)多元线性回归模型的一般形式为:Y=ββ+X+X+β""+X+βμ,=1,2,in,(1)ii01122ikkii其中k为解释变量的数目,β(1jk=,2,,)"称为回归系数(regressioncoefficient)。上j式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为:Y=β+X+X+ββ""+βX,=1,2,in,(2)ii01122ikkiβ也被称为偏回归系数(partialregressioncoefficient)。j2、多元线性回
3、归计算模型2Y=β+ββxx++"∼+βεx+,εN(0,δ)(3)01122kk多元性回归模型的参数估计,同一元线性回归方程一样,也是在要求误差平方和(Σe)为最小的前提下,用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。设(,,,,)xxx"""yx,,(,,,,)xxy是一个样本,用最大似然估计法估计11121pn11n2npn参数:n取bbˆˆ,,,,""bˆ当bbbb==ˆ,ˆ,,bb=ˆ时,Qy=−∑()b−−bxb"−x201pp0011piip011ipi=1达到最小。⎧∂nQ⎪=−2(∑y
4、bbxiip−−011−−"bxip)0=,⎪∂b0i=1⎨n∂Q(4)⎪=−2(∑ybbxiip−−011−−"bxxip)0ij=⎪⎩∂bji=1jp=1,2,",(4)化简可得:nnnn⎫bnb01122+++∑∑xiipbx"+=b∑∑xipyi,⎪ii==11i=1i=1⎪nnnn2⎪bxbxbx01∑∑∑iii++1121xip2+"+bx∑i1xip⎪iii===111i=1⎪n⎪=∑xyii1,⎪i=1⎬(5)#⎪⎪nnnn2⎪bxbx01∑∑∑ip+++ipixbx12ipix2
5、"+bxp∑ip⎪ii==11i=1i=1⎪n⎪=∑xyipi.⎪i=1⎭引入矩阵:⎛⎞1x11xx12"1p⎛⎞y1⎛b0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟1xxx"yb⎜⎟21222p⎜⎟2⎜1⎟XY==,,.B=⎜⎟####⎜⎟#⎜#⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟1xxx"y⎜b⎟⎝⎠nn12np⎝⎠n⎝p⎠方程组(5)可以化简得:X''XB=XY(6)可得最大似然估计值:⎛⎞bˆ0⎜⎟⎜⎟bˆBˆ==⎜⎟1(')'XXXY−1(7)#⎜⎟⎜⎟bˆ⎝⎠pμ(,,,)xxxbb""=+++xbx的估计是:12pp011pyˆ
6、=++++bbxbxˆˆˆ"bxˆ(8)01122pp公式(8)为P元经验线性回归方程。3、Matlab多元线性回归的实现多元线性回归在Matlab中主要实现方法如下:(1)b=regress(Y,X)确定回归系数的点估计值其中⎛⎞1x11xx12"1p⎛⎞y1⎛b0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟1xxx"yb⎜⎟21222p⎜⎟2⎜1⎟XY==,,.B=(9)⎜⎟####⎜⎟#⎜#⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟1xxx"y⎜b⎟⎝⎠nn12np⎝⎠n⎝p⎠(2)[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y
7、,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型①bint表示回归系数的区间估计.②r表示残差③rint表示置信区间2④stats表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值:相关系数r、F值、与F对应的概率p2说明:相关系数r越接近1,说明回归方程越显著;F>F1-alpha(p,n-p-1)时拒绝H0,F越大,说明回归方程越显著;与F对应的概率p<α时拒绝H0,回归模型成立。⑤alpha表示显著性水平(缺省时为0.05)(3)rcoplot(r,rint)画出残差及其置信区间实例1:
8、(一元线性回归)测得16名女子的身高和腿长如下表所示(单位:cm):身高143145146147149150153154腿长8885889192939395身高155156157158159160162164腿长969897969899100102试研究这些数据之间的关系。分析:x=[143,145,146,147,149,150,153,154,155,156,157,158,159,160,162,164]TTT由式(9)可得X=[e,x](e为单位列向量)y=[88,85,8